Bài viết này Vted giới thiệu đến các em một số định lý về hàm số áp dụng trong giải một phương trình, bất phương trình mũ và logarit:

Các định lí cần sử dụng:

• Nếu $f(x)$ là hàm đơn điệu trên $K$ (với $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì phương trình $f(x)=0$ có tối đa một nghiệm trên $K.$

• Nếu $f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a)f(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(a;b).$

• Nếu $f(x)$ là hàm đơn điệu trên $K,\forall a,b\in K;f(a)=f(b)\Leftrightarrow a=b.$

+) Nếu $f(x)$ đồng biến trên $K,\forall a,b\in K\Rightarrow f(a)>f(b)\Leftrightarrow a>b;$

+) Nếu $f(x)$ nghịch biến trên $K,\forall a,b\in K\Rightarrow f(a)>f(b)\Leftrightarrow a<b.$

• Nếu ${f}'(x)=0$ có tối đa $n$ nghiệm trên $K$ thì phương trình $f(x)=0$ có tối đa $(n+1)$ nghiệm trên $K.$

Ví dụ 1:Giải phương trình ${{3}^{x}}+{{4}^{x}}={{5}^{x}}.$

Giải. Phương trình tương đương với: ${{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-1=0.$

Hàm số $f(x)={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $f(2)=0$ do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=2.$

Ví dụ 2: Giải phương trình ${{3}^{x}}=\left| {{5}^{x}}-2 \right|.$

Giải. Phương trình tương đương với: $\left[ \begin{gathered} {5^x} - 2 = {3^x} \hfill \\ {5^x} - 2 = - {3^x} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2 + {3^x} = {5^x} \hfill \\ {5^x} + {3^x} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} - 1 = 0 \hfill \\ {5^x} + {2^x} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Ví dụ 3: Giải phương trình ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}=3x+2.$

Giải. Phương trình tương đương với: ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2=0.$

Xét hàm số $y={{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2$ ta có ${y}'={{3}^{x}}\ln 3+{{3}^{x}}\ln 2-3;{y}''={{3}^{x}}{{\ln }^{2}}3+{{2}^{x}}{{\ln }^{2}}2>0,\forall x.$

Do đó ${y}'=0$ có tối đa một nghiệm và vì vậy $y=0$ có tối đa hai nghiệm.

Nhận thấy $x=0;x=1$ là nghiệm, do đó phương trình chỉ có hai nghiệm là $x=0;x=1.$

Ví dụ 4: Giải phương trình ${{3}^{2x+1}}=6{{x}^{2}}+7x+2+(3x+1){{3}^{x}}.$

Giải. Phương trình tương đương với:

$\begin{gathered} {3.9^x} - (3x + 1){3^x} - 6{x^2} - 7x - 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow ({3^x} - 2x - 1)({3^{x + 1}} + 3x + 2) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {3^x} - 2x - 1 = 0 \hfill \\ {3^{x + 1}} + 3x + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0;x = 1 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ \end{gathered} $

Ví dụ 5: Giải phương trình ${{4}^{x}}=\dfrac{5x+3}{5x-3}.$

Giải. Phương trình tương đương với: ${{4}^{x}}-\dfrac{5x+3}{5x-3}=0.$

Xét hàm số $y={{4}^{x}}-\dfrac{5x+3}{5x-3},$ ta có ${y}'={{4}^{x}}\ln 4+\dfrac{30}{{{(5x-3)}^{2}}}>0,\forall x\ne \dfrac{3}{5}.$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;\dfrac{3}{5} \right);\left( \dfrac{3}{5};+\infty \right).$ Do đó trên mỗi khoảng này phương trình có tối đa một nghiệm. Nhận thấy $x=-1;x=1$ thoả mãn. Vậy phương trình chỉ có hai nghiệm là $x=-1;x=1.$

Ví dụ 6: Giải phương trình $(2-x)(1+{{3}^{x}})=4.$

Giải. Phương trình tương đương với: $2-x=\frac{4}{1+{{3}^{x}}}\Leftrightarrow x+\frac{4}{{{3}^{x}}+1}-2=0.$

Xét hàm số $y=x+\frac{4}{{{3}^{x}}+1}-2,$ ta có

\[\begin{gathered} y' = 1 - \frac{{{{4.3}^x}\ln 3}}{{{{({3^x} + 1)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow {({3^x} + 1)^2} - (4\ln 3){3^x} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {3^{2x}} + (2 - 4\ln 3){3^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {3^x} \approx 0,54 \hfill \\ {3^x} \approx 1,85 \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ \end{gathered} \]

Do đó ${y}'=0$ có hai nghiệm, do đó $y=0$ có tối đa ba nghiệm.

Nhận thấy $x=0;x=-1;x=1$ thoả mãn. Vậy phương trình chỉ có ba nghiệm $x=0;x=-1;x=1.$

Ví dụ 7: Giải phương trình ${{\log }_{5}}\left| {{x}^{2}}-\sqrt{3}x \right|={{\log }_{7}}({{x}^{2}}-\sqrt{3}x+2).$

Giải. Phương trình tương đương với:

$\begin{gathered} {\log _5}\left| {{x^2} - \sqrt 3 x} \right| = {\log _7}({x^2} - \sqrt 3 x + 2) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left| {{x^2} - \sqrt 3 x} \right| = {5^t} \hfill \\ {x^2} - \sqrt 3 x + 2 = {7^t} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left| {{7^t} - 2} \right| = {5^t} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {7^t} - 2 = {5^t} \hfill \\ {7^t} - 2 = - {5^t} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} = 1 \hfill \\ {7^t} + {5^t} - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 1 \hfill \\ t = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy $\left[ \begin{gathered} {x^2} - \sqrt 3 x = - 1 \hfill \\ {x^2} - \sqrt 3 x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow {x^2} - \sqrt 3 x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 3 \pm \sqrt {23} }}{2}.$

Ví dụ 8: Giải phương trình $\ln \left( \frac{{{x}^{2}}+1}{2{{x}^{2}}-3x-1} \right)=4{{x}^{2}}-12x-8.$

Giải. Phương trình tương đương với:

$\begin{gathered} \ln ({x^2} + 1) - \ln (2{x^2} - 3x - 1) = 4{x^2} - 12x - 8 \hfill \\ \Leftrightarrow \ln ({x^2} + 1) + 4({x^2} + 1) = \ln (2{x^2} - 3x - 1) + 4(2{x^2} - 3x - 1) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2{x^2} - 3x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {17} }}{2}. \hfill \\ \end{gathered} $

Ví dụ 9: Giải phương trình \[{{5}^{x}}=20{{\log }_{5}}(20x-15)-15.\]

Giải. Đặt $t={{\log }_{5}}(20x-15)\Leftrightarrow 20x-15={{5}^{t}}\Leftrightarrow -15={{5}^{t}}-20x,$ phương trình trở thành:

${{5}^{x}}=20t+({{5}^{t}}-20x)\Leftrightarrow {{5}^{x}}+20={{5}^{t}}+20t\Leftrightarrow t=x.$

Do đó ${{5}^{x}}-20x+15=0\Leftrightarrow x=1;x=2.$

Ví dụ 10: Giải phương trình ${{3}^{x}}=2{{x}^{2}}+1.$

Giải. Phương trình tương đương với \[{{3}^{x}}-2{{x}^{2}}-1=0.\]

Xét hàm số $y={{3}^{x}}-2{{x}^{2}}-1$ ta có ${y}'={{3}^{x}}\ln 3-4x;{y}''={{3}^{x}}{{\ln }^{2}}3-4.$ Do đó ${y}''=0$ có một nghiệm nên ${y}'=0$ có tối đa 2 nghiệm và do đó $y=0$ có tối đa ba nghiệm.

Nhận thấy $x=0;x=1;x=2$ thoả mãn nên phương trình chỉ có ba nghiệm $x=0;x=1;x=2.$

Ví dụ 11: Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\sin x} \right)={{\log }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}}(\cos x).$

Giải. Phương trình tương đương với:  

$\begin{gathered} {\log _2}\left( {\frac{1}{{\sin x}}} \right) = {\log _{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}(\cos x) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{\sin x}} = {2^t} \hfill \\ \cos x = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^t} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin x = \frac{1}{{{2^t}}} \hfill \\ \cos x = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^t} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{{4^t}}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = 1 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin x = \frac{1}{2} \hfill \\ \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi . \hfill \\ \end{gathered} $

Cách xác định tổng tất cả các nghiệm của hai phương trình mũ và logarit

Bài tập dành cho bạn đọc tự luyện:

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:

Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2019 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.

1. PRO X 2019: Luyện thi THPT Quốc Gia 2019 - Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao Toán 10 Toán 11 và Toán 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, Học sinh các khoá trước thi lại đều có thể theo học khoá này. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8 đến 9 điểm. 
2. PRO XMAX 2019: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất cả chủ đề đã có trong khoá PRO X. Khoá PRO XMAX học hiệu quả nhất khi các em đã hoàn thành chương trình kì I Toán 12 (tức đã hoàn thành Logarit và Thể tích khối đa diện) có trong Khoá PRO X. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8,5 đếm 10 điểm.
3. PRO XPLUS 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán gồm 20 đề 2019. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình Toán 12 và Toán 11 trong khoá PRO X. Khoá XPLUS tại Vted đã được khẳng định qua các năm gần đây khi đề thi được đông đảo giáo viên và học sinh cả nước đánh giá ra rất sát so với đề thi chính thức của BGD. Khi học tại Vted nếu không tham gia XPLUS thì quả thực đáng tiếc. 
4. PRO XMIN 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.  

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.