Vted giới thiệu đến các em Tuyển chọn 36 câu hỏi trắc nghiệm Giới hạn của dãy số thuộc chương trình Giải tích Toán 11 - Học kì II - 

TRÍCH NỘI DUNG BÀI GIẢNG CÓ TRONG TÀI LIỆU 

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

(1) Định nghĩa về dãy số có giới hạn hữu hạn (giới hạn là một số thực)

Xét dãy số $({{u}_{n}}),$ ta nói rằng dãy số $({{u}_{n}})$ có giới hạn là một số thực $L$ nếu với mọi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, sao cho mọi số hạng của dãy số kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có trị tuyệt đối của ${{u}_{n}}-L$ nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta kí hiệu $\lim {{u}_{n}}=L$ hoặc ${{u}_{n}}\to L$ hoặc $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=L.$

Dãy số có giới hạn là một số thực ta gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. Phát biểu định nghĩa bằng kí hiệu toán học: $\lim {{u}_{n}}=L\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0$ nhỏ tuỷ ý, \[\exists {{n}_{0}}|\left| {{u}_{n}}-L \right|<\varepsilon ,\forall n\ge {{n}_{0}}.\]

Các ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh $\lim \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0.$

Xét dãy số $({{u}_{n}})$ với ${{u}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}.$

Với mọi $\varepsilon >0,$ chọn ${{n}_{0}}$ sao cho $\frac{1}{\sqrt{{{n}_{0}}}}<\varepsilon \Leftrightarrow {{n}_{0}}>\frac{1}{{{\varepsilon }^{2}}}\Rightarrow {{n}_{0}}=\left[ \frac{1}{{{\varepsilon }^{2}}} \right]+1.$

Khi đó với mọi $n\ge {{n}_{0}}$ ta có $\left| {{u}_{n}}-0 \right|=\frac{1}{\sqrt{n}}\le \frac{1}{\sqrt{{{n}_{0}}}}<\varepsilon \Rightarrow \lim {{u}_{n}}=0.$

Ví dụ 2. Chứng minh $\lim \dfrac{3n+1}{3n}=1.$

Xét dãy số $({{u}_{n}})$ với ${{u}_{n}}=\frac{3n+1}{3n}.$

Với mọi số dương $\varepsilon >0$ nhỏ tuỳ ý, chọn số tự nhiên ${{n}_{0}}$ thoả mãn \[\left| \frac{3{{n}_{0}}+1}{3{{n}_{0}}}-1 \right|<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{3{{n}_{0}}}<\varepsilon \Leftrightarrow {{n}_{0}}>\frac{1}{3\varepsilon }\Rightarrow {{n}_{0}}=\left[ \frac{1}{3\varepsilon } \right]+1.\]

Khi đó $\left| {{u}_{n}}-1 \right|=\left| \frac{3n+1}{3n}-1 \right|\le \left| \frac{3{{n}_{0}}-1}{3{{n}_{0}}}-1 \right|<\varepsilon ,\forall n\ge {{n}_{0}}\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=1.$

Các em xem trực tiếp tại website hoặc tải về bản PDF ở cuối bài viết 

TẢI VỀ

CÁC EM THAM KHẢO KHOÁ HỌC TOÁN 11 TẠI ĐÂY