[Vted.vn] - Phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát


Cách giải phương trình đa thức bậc bốn tổng quát

Phương trình bậc bốn tổng quát: $a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e=0\text{ }(a\ne 0,a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$ta luôn đưa được phương trình về dạng ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ bằng cách chia hai vế phương trình cho $a.$

Vậy ta xét phương trình: ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0.$

Để giải phương trình này ta thực hiện nhóm hằng đẳng thức như sau:

                                                            \(\begin{array}{l} {\left( {{x^2} + \frac{{ax}}{2} + m} \right)^2} = \left( {\frac{{{a^2}}}{4} - b} \right){x^2} - cx - d + 2m\left( {{x^2} + \frac{{ax}}{2}} \right) + {m^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + \frac{{ax}}{2} + m} \right)^2} = \left( {\frac{{{a^2}}}{4} - b + 2m} \right){x^2} + (ma - c)x + {m^2} - d{\rm{ }}(1). \end{array}\)

Ta biến đổi vế phải của (1) thành một bình phương, tức chọn hằng số $m$ sao cho

\[\Delta =0\Leftrightarrow {{(ma-c)}^{2}}-4\left( \frac{{{a}^{2}}}{4}-b+2m \right)({{m}^{2}}-d)=0\Leftrightarrow {{(ma-c)}^{2}}-({{a}^{2}}-4b+8m)({{m}^{2}}-d)=0(2).\]

Với hằng số $m$ được tìm ra từ phương trình $(2)$ ta đưa được $(1)$ về dạng:

${{\left( {{x}^{2}}+\frac{ax}{2}+m \right)}^{2}}=\left( \frac{{{a}^{2}}}{4}-b+2m \right){{\left( x+\frac{ma-c}{2\left( \frac{{{a}^{2}}}{4}-b+2m \right)} \right)}^{2}}.$

Phương trình này có thể đưa được về hai phương trình bậc hai dựa trên tính chất ${{A}^{2}}={{B}^{2}}\Leftrightarrow A=B;A=-B.$

Video Phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát

Tuy nhiên với dòng máy tính cầm tay CASIO FX 580 VNX hoặc VINACAL 570ES  PLUS sắp ra mắt đã hỗ trợ giải một phương trình bậc bốn. Và hai dòng máy tính này được mang vào phòng thi theo quy chế của BGD vậy các em học sinh nên tận dụng chức năng này.

Một câu hỏi được đặt ra một cách rất tự nhiên: Liệu phương trình bậc 5 có giải tổng quát được bằng công thức hay không? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều người. Có thể kể ra một số trường hợp sau: Tschirnhaus đưa ra lời giải nhưng bị Leibniz chỉ ra là sai lầm. Euler đưa ra lời giải sai nhưng đồng thời lại tìm được phương pháp mới để giải phương trình bậc 4. Lagrange cũng nghiên cứu vấn đề này và tìm ra cách thống nhất để giải quyết bài toán cho các phương trình bậc bé hơn hoặc bằng bốn. Tuy nhiên ông nói rằng phương pháp của ông sẽ sai nếu áp dụng cho phương trình bậc 5. Năm 1813, Ruffini công bố một chứng minh với nhiều sai sót rằng phương trình bậc 5 không giải được bằng căn thức. Cuối cùng, vào năm 1824 Niels Henrik Abel đã chứng minh một cách thuyết phục rằng phương trình bậc 5 tổng quát không giải được bằng căn thức[2]. Và Évariste Galois(1811 - 1832), chàng thanh niên người Pháp 21 tuổi là ngưới cuối cùng đưa ra lời giải rất sâu sắc cho bài toán tuyệt đẹp:"Làm thế nào để nhận biết một phương trình đại số là giải được hay không được bằng căn thức" bằng cách phát triển lý thuyết nhóm.

Câu hỏi: Giải phương trình ${{x}^{4}}-{{x}^{2}}-16x+2=2\sqrt{{{x}^{2}}+4x},\left( x\in \mathbb{R} \right).$

Giải. Điều kiện: ${{x}^{2}}+4x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0\vee x\le -4.$

Ta có $\mathbf{PT}\Leftrightarrow {{x}^{4}}-16x+2-{{x}^{2}}=2\sqrt{{{x}^{2}}+4x}\left( * \right)$

$\Rightarrow {{\left( {{x}^{4}}-16x+2-{{x}^{2}} \right)}^{2}}=4\left( {{x}^{2}}+4x \right)$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{4}}-16x \right)}^{2}}+{{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{2}}+2\left( 2-{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{4}}-16x \right)=4\left( {{x}^{2}}+4x \right)$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{4}}-16x \right)}^{2}}+{{x}^{4}}-16x-8{{x}^{2}}+4+2\left( 2-{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{4}}-16x \right)=0$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{4}}-16x \right)}^{2}}+\left( {{x}^{4}}-16x \right)\left( 5-2{{x}^{2}} \right)+4-8{{x}^{2}}=0$

Đặt $t={{x}^{4}}-16x\Rightarrow {{t}^{2}}+t\left( 5-2{{x}^{2}} \right)+4-8{{x}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( 2{{x}^{2}}-5 \right)t-4\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow t=-4;t=2{{x}^{2}}-1$

+ Nếu $t=-4\Leftrightarrow {{x}^{4}}-16x=-4\Rightarrow V{{T}_{\left( * \right)}}=-2-{{x}^{2}}<0\le VP$ (vô nghiệm).

+ Nếu $t=2{{x}^{2}}-1\Leftrightarrow {{x}^{4}}-16x=2{{x}^{2}}-1\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=16x$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+2k\left( {{x}^{2}}-1 \right)+{{k}^{2}}=2k\left( {{x}^{2}}-1 \right)+{{k}^{2}}+16x$ trong đó k là một số thực nào đó được chọn sau.

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1+k \right)}^{2}}=2k{{x}^{2}}+16x+{{k}^{2}}-2k\left( ** \right)$

Chọn k sao cho ${{{\Delta }'}_{VP}}={{8}^{2}}-2k\left( {{k}^{2}}-2k \right)=0\Leftrightarrow k=4$ (để vế phải có dạng bình phương)

$\Rightarrow \left( ** \right)\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{2}}=8{{x}^{2}}+16x+8=8{{\left( x+1 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3=\pm 2\sqrt{2}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}.$

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Đã ghim
Maria Olala [36935]

mod oi cho e hoi co casio 580 r thi khoi can hojc cai nay phai k a

 

0
Đã ghim
Nguyễn Thị Ngọc Ánh [60662] Đã mua 1 khóa học

học phần 2 chứng minh ở đâu ạ

 

0
Vted
Xem tất cả