Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba

$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có phương trình là $y=\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\dfrac{bc}{9a}.$

Chứng minh. Gọi $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c=0.$

Lấy $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ chia cho $3a{{x}^{2}}+2bx+c$ ta được

$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=\left( \dfrac{x}{3}+\dfrac{b}{9a} \right)\left( 3a{{x}^{2}}+2bx+c \right)+\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\dfrac{bc}{9a}.$

Do đó $y=\left( \dfrac{x}{3}+\dfrac{b}{9a} \right){y}'+\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\dfrac{bc}{9a}.$

Vì ${y}'({{x}_{1}})={y}'({{x}_{2}})=0\Rightarrow {{y}_{1}}=\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right){{x}_{1}}+d-\dfrac{bc}{9a};{{y}_{2}}=\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right){{x}_{2}}+d-\dfrac{bc}{9a}.$

Điều đó chứng tỏ $A,B\in d:y=\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\dfrac{bc}{9a}.$ Ta có điều phải chứng minh.    

Ví dụ minh hoạ: 

Câu 1: Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}+3(m-3){{x}^{2}}-3m+11$ có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm $N(2;-1)$ thẳng hàng là

Lời giải. Ta có ${y}'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+6(m-3)x=0\Leftrightarrow x=0;x=3-m.$ Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow 3-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 3.$ Loại đáp án B.

Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

   \[y=\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\dfrac{bc}{9a}=-{{(m-3)}^{2}}x-3m+11.\]

Vì điểm $N(2;-1)$ thuộc đường thẳng này nên $-2{{(m-3)}^{2}}-3m+11=-1\Leftrightarrow m=\dfrac{9\pm \sqrt{33}}{4}.$ Chọn đáp án A.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x+m$ có hai điểm cực trị và điểm $M\left( 9;-5 \right)$ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Giải. Đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ là $y=\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\dfrac{bc}{9a}$

https://vted.vn/tin-tuc/vtedvn-phuong-trinh-duong-thang-noi-hai-diem-cuc-tri-cua-do-thi-ham-da-thuc-bac-ba-4736.html

Áp dụng $d:y=\dfrac{2}{3}\left( m-3-\dfrac{4}{3} \right)x+m-\dfrac{2\left( m-3 \right)}{9}$

$M\left( 9;-5 \right)\in d\Rightarrow -5=\dfrac{2}{3}\left( m-3-\dfrac{4}{3} \right)\times 9+m-\dfrac{2\left( m-3 \right)}{9}\Leftrightarrow m=3.$ Chọn đáp án D.

Câu 3. Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết ${f}'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $m,n$ sao cho đường thẳng đi qua hai điểm $A(m;f(m)),B(n;f(n))$ đi qua gốc toạ độ $O.$ Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=abc+ab+c$ là ?

Lời giải chi tiết: Đường thẳng qua hai điểm $AB:y=\dfrac{2}{3}\left( b-\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)x+c-\dfrac{ab}{9}.$ Vì $O\in AB$ nên $c-\dfrac{ab}{9}=0.$ Vì vậy $S=\dfrac{1}{9}{{(ab)}^{2}}+\dfrac{10}{9}ab=\dfrac{1}{9}{{\left( ab+5 \right)}^{2}}-\dfrac{25}{9}\ge -\dfrac{25}{9}.$ Chọn đáp án B.

Câu 4. Khoảng cách từ điểm $P(3;1)$ đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-({{m}^{2}}-2)x+{{m}^{2}}$ có giá trị lớn nhất bằng

Lời giải chi tiết. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị $A,B$ của đồ thị hàm số đã cho là

\[y=\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\dfrac{bc}{9a}=-\dfrac{2}{3}({{m}^{2}}+1)x+\dfrac{2({{m}^{2}}+1)}{3}.\]

Đường thẳng qua hai điểm cực trị luôn qua điểm cố định $I(1;0)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.

Vì vậy $d(P,AB)\le PI=\sqrt{5}.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $PI\bot AB.$

Đường thẳng $AB$ có hệ số góc ${{k}_{1}}=-\dfrac{2}{3}({{m}^{2}}+1).$ Đường thẳng $PI$ có hệ số góc ${{k}_{2}}=\dfrac{{{y}_{P}}-{{y}_{I}}}{{{x}_{P}}-{{x}_{I}}}=\dfrac{1-0}{3-1}=\dfrac{1}{2}.$

Vậy $PI\bot AB\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow -\dfrac{2}{3}({{m}^{2}}+1).\dfrac{1}{2}=-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}.$ Chọn đáp án A.

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Bài tập tự luyện:

Câu 1. Khi đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+2$ có hai điểm cực trị $A,B$ và đường tròn $(C):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=3$ cắt đường thẳng $AB$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho khoảng cách giữa $M$ và $N$ lớn nhất. Tính độ dài $MN.$

Câu 2. Cho hàm số $y={{x}^{3}}+(m+3){{x}^{2}}-(2m+9)x+m+6$ có đồ thị $(C).$  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $(C)$ có hai điểm cực trị và khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là lớn nhất.

Câu 3.Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để điểm $M(2{{m}^{3}};m-1)$ cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3(2m+1){{x}^{2}}+6m(m+1)x$ tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

>>Xem thêm Một cách giải quyết với bài toán Hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba nằm phác phía với trục hoành - Thầy Đặng Thành Nam

>>Xem thêm Điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai/bậc nhất luôn thuộc một parabol cố định

>>Xem thêm Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất và hàm phân thức bậc hai trên bậc hai