So sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số

Xét $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thoả mãn

• ${{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}\Leftrightarrow af(\alpha )<0.$
• ${{x}_{2}}>{{x}_{1}}>\alpha \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& af(\alpha )>0 \\ & S>2\alpha  \\ & \Delta >0 \\ \end{align} \right..$
• ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\alpha \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& af(\alpha )>0 \\& S<2\alpha  \\ & \Delta >0 \\ \end{align} \right..$
• $\alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\beta \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& af(\alpha )>0 \\ & af(\beta )>0 \\ & 2\alpha <S<2\beta  \\ & \Delta >0 \\ \end{align} \right..$
• $\alpha <{{x}_{1}}<\beta <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& af(\alpha )>0 \\ & af(\beta )<0 \\ \end{align} \right..$

Chú ý trong các điều kiện trên nếu có thêm dấu bằng thì các em bổ sung dấu bằng vào điều kiện nhé.

Chứng minh tính chất đầu tiên: ${{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}\Leftrightarrow af(\alpha )<0.$

Đặt $t=x-\alpha \Leftrightarrow x=t+\alpha $ phương trình trở thành: $a{{\left( t+\alpha \right)}^{2}}+b\left( t+\alpha \right)+c=0\Leftrightarrow a{{t}^{2}}+\left( 2a\alpha +b \right)t+a{{\alpha }^{2}}+b\alpha +c=0\Leftrightarrow a{{t}^{2}}+\left( 2a\alpha +b \right)t+f(\alpha )=0.$

Có ${x_1} < \alpha < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {t_1} = {x_1} - \alpha < 0 \hfill \\ {t_2} = {x_2} - \alpha > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow {t_1}{t_2} < 0 \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow af(\alpha ) < 0.$

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm kiến thức về Cấp số cộng và cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác cần nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max

>>Xem thêm Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2021 có lời giải chi tiết