Sử dụng tính chất hàm đặc trưng trong bài toán giải và biện luận nghiệm của phương trình – bất phương trình

Ví dụ 1: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $-2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-16x+10+m+\sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m}=0$ có nghiệm $x\in \left[ -1;2 \right].$ Tính tổng tất cả các phần tử của $S.$

Giải. Đặt $t=\sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m}\Leftrightarrow {{t}^{3}}=-{{x}^{3}}-3x+m\Leftrightarrow m={{t}^{3}}+{{x}^{3}}+3x\left( 1 \right)$

Thay vào phương trình đã cho ta có $-2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-16x+10+\left( {{t}^{3}}+{{x}^{3}}+3x \right)+t=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{3}}+t={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+13x-10={{\left( x-2 \right)}^{3}}+\left( x-2 \right)\Leftrightarrow t=x-2$ do hàm số $f\left( a \right)={{a}^{3}}+a$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Thay ngược lại $\left( 1 \right)\Rightarrow m=g\left( x \right)={{\left( x-2 \right)}^{3}}+{{x}^{3}}+3x$ có nghiệm \[x\in \left[ -1;2 \right]\]

\[\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -1 \right)=-31\le m\le \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=14.\] Vậy $\sum\limits_{m=-31}^{14}{m}=-391.$ Chọn đáp án D.