Bài viết này Vted trình bày và giới thiệu đến bạn đọc Công thức tính thể tích của một khối chóp cụt và một số ví dụ minh hoạ. Công thức này cho phép tính thể tích một số khối đa diện mức độ vận dụng, vận dụng cao.

Hình chóp cụt

Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.$ Một mặt phẳng không đi qua $S$ và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh $S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},...,S{{A}_{n}}$ tương ứng tại ${{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{n}}.$

+ Hình gồm các đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ và các hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là một hình chóp cụt, kí hiệu là ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

Một cách đơn giản, hình chóp cụt được tạo thành từ hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ sau khi cắt đi hình chóp $S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

+ Các đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ được gọi là hai mặt đáy, các hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là các mặt bên. Các đoạn thẳng ${{A}_{1}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{B}_{n}}$ được gọi là các cạnh bên, các cạnh của mặt đáy được gọi là các cạnh đáy.

+ Khoảng cách giữa hai mặt đáy được gọi là chiều cao của hình chóp cụt.

Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt có hai đáy là các đa giác đều và độ dài các cạnh bên bằng nhau.

Thể tích của khối chóp cụt

Khi cắt khối chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy thì mặt phẳng đó chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện, khối bên trên là khối chóp và khối bên dưới được gọi là khối chóp cụt.

Thể tích của khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ và chiều cao bằng $h$ (khoảng cách giữa hai đáy) là \[V=\dfrac{h({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}})}{3}.\]

Xem thêm Công thức tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối nón cụt

Video bài giảng: Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng

>>Xem thêm Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng $a.$ Gọi $M,\text{ }N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và ${B}'{C}'.$ Mặt phẳng $\left( {A}'MN \right)$ cắt cạnh $BC$ tại $P.$ Tính thể tích $V$ của khối đa diện $MBP.{A}'{B}'N.$

Giải. Gọi $S$ là giao điểm của ${A}'M$ và $B{B}'$, khi đó $P$ là giao điểm $SN$ và $BC.$Ta có $\dfrac{MP}{{A}'N}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BM}{{A}'{B}'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \Delta MBP$ đồng dạng với $\Delta {A}'{B}'N$ theo tỷ số bằng $\dfrac{1}{2}.$

Khối đa diện $MBP.{A}'{B}'N$ là khối chóp cụt có chiều cao $h=B{B}'=a$ và diện tích hay đáy là ${{S}_{1}}={{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8},{{S}_{2}}={{S}_{MBP}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}.$

Vậy ${{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{a}{3}\left( \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}+\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}+\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}.$

Chọn đáp án B.

Các em xem lại Bài giảng Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng khoá PRO X.

Cách 2: Ta có $\dfrac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\dfrac{SM}{S{A}'}.\dfrac{SB}{S{B}'}.\dfrac{SP}{SN}={{\left( \dfrac{SB}{S{B}'} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{8}$$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}.$

Ta có ${{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}S{B}'.{{S}_{\Delta {A}'{B}'N}}$$=\dfrac{1}{3}S{B}'.\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{B}'N\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{1}{6}2a.a.\dfrac{a}{2}\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.

$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$.

Chọn đáp án B.

Các em xem lại Bài giảng Tỷ số Thể tích khoá PRO X.

Ví dụ 2: Cho một chậu nước hình chóp cụt đều (hình vẽ) có chiều cao bằng $3dm,$ đáy là lục giác đều, độ dài cạnh đáy lớn bằng $2dm$ và độ dài cạnh đáy nhỏ bằng $1dm.$ Tính thể tích của chậu nước

Giải. Diện tích đáy của chậu bằng ${{S}_{1}}=6\left( \dfrac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=6\sqrt{3},{{S}_{2}}=6\left( \dfrac{{{1}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$

Chiều cao của chậu bằng $h=3.$

Thể tích của chậu bằng ${{V}_{0}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{3}{3}\left( 6\sqrt{3}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{6\sqrt{3}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \right)=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}d{{m}^{3}}.$ Chọn đáp án A.

Note: Diện tích lục giác đều gấp 6 lần diện tích tam giác đều có cùng độ dài cạnh.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,A{A}'=2a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A{A}',B{B}'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Mặt phẳng $(MNG)$ cắt $CA,CB$ lần lượt tại $E,F.$ Thể tích của khối đa diện có sáu đỉnh $A,B,M,N,E,F$ bằng

Giải. Do $MN//(ABC)\Rightarrow (MNG)\cap (ABC)=EF//AB.$ Gọi $P$ là trung điểm $C{C}'.$ Ta có $MNP.EFC$ là một chóp cụt.

$\begin{gathered} {V_{ABNMEF}} = {V_{ABC.MNP}} - {V_{MNP.EFC}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} - \dfrac{{CP}}{3}\left( {{S_{MNP}} + {S_{EFC}} + \sqrt {{S_{MNP}}{S_{EFC}}} } \right) \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} \right)\left( {2a} \right) - \dfrac{a}{3}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} } \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}. \\ \end{gathered} $

Trong đó ${{S}_{MNP}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}};\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CG}{CI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \Delta CEF\backsim \Delta CAB$ tỉ số $\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{CEF}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}{{S}_{CAB}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}.$

Hoặc \[{{S}_{CEF}}=\dfrac{1}{2}CE.CF.\sin \widehat{ECF}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}.\] Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích bằng $24$. Gọi $M\,,\ N$ và $P$ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh ${A}'{B}'\,,\,\ {B}'{C}'$ và $BC$ sao cho $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$, ${B}'N=\dfrac{3}{4}{B}'{C}'$ và $BP=\dfrac{1}{4}BC.$ Đường thẳng $NP$ cắt đường thẳng $B{B}'$ tại $E$ và đường thẳng $EM$ cắt đường thẳng $AB$ tại $Q.$ Thể tích của khối đa diện lồi $AQPC{A}'MN{C}'$ bằng

Giải. Đặt $S,h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đã cho ta có $S.h=24$ và

${{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{BPQ.{B}'NM}}.$ Trong đó $BPQ.{B}'NM$ là chóp cụt có chiều cao $h.$

Ta có $\dfrac{EB}{E{B}'}=\dfrac{EP}{EN}=\dfrac{EQ}{EM}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BQ}{{B}'M}=\dfrac{PQ}{NM}=\dfrac{1}{3}.$ Do đó hai tam giác $\Delta BPQ\backsim \Delta {B}'NM$ theo tỷ số $k=\dfrac{1}{3}.$

Suy ra ${{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{{B}'N}{{B}'{C}'}\times \dfrac{{B}'M}{{B}'{A}'}S=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}S=\dfrac{3}{8}S;{{S}_{BPQ}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}{{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{1}{24}S.$

Vì vậy ${{V}_{BPQ.{B}'NM}}=\dfrac{h}{3}\left( \dfrac{3}{8}S+\dfrac{1}{24}S+\sqrt{\dfrac{3}{8}S\times \dfrac{1}{24}S} \right)=\dfrac{13}{72}S.h=\dfrac{13}{72}\times 24=\dfrac{13}{3}\Rightarrow {{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}=24-\dfrac{13}{3}=\dfrac{59}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C,AB=2a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng $(AB{C}')$ và $(ABC)$ bằng $60{}^\circ .$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC.$ Mặt phẳng $(AMN)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện. Khối đa diện có thể tích nhỏ hơn bằng

Giải. Gọi $E$ là trung điểm $AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB \bot CC'\\ AB \bot CE \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (CEC') \Rightarrow \widehat {C'EC} = \left( {(ABC'),(ABC)} \right) = {60^0} \Rightarrow CC' = CE\sqrt 3 = a\sqrt 3 .$

Vì $(ABC)//({A}'{B}'{C}')\Rightarrow (AMN)\cap ({A}'{B}'{C}')=MQ//AN.$

Khối đa diện $ANC.MQ{C}'$ có thể tích nhỏ hơn và là là khối chóp cụt có ${{S}_{1}}={{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}},{{S}_{2}}={{S}_{MQ{C}'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{8}{{a}^{2}};h=C{C}'=\sqrt{3}a.$

Vì vậy ${{V}_{ANC.MQ{C}'}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}\left( \dfrac{1}{2}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$ Chọn đáp án A.
Xem thêm Công thức tổng quát tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện và các trường hợp đặc biệt

Câu 6. Một cái xô đựng nước có dạng hình chóp cụt đều cao $40\text{ cm,}$ đáy và miệng chậu tương ứng là các hình vuông có độ dài cạnh $20\text{ cm}$ và $30\text{ cm}\text{.}$ Ban đầu chậu không có nước, nước được bơm vào chậu lúc $7$ giờ sáng với tốc độ \[2128\text{ c}{{\text{m}}^{3}}\text{/ph }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ t}\text{.}\] Vào lúc $7$ giờ $6$ phút sáng mực nước trong chậu (tính từ điểm thấp nhất của đáy chậu đến mặt nước) dâng lên với tốc độ là bao nhiêu centimét/phút? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

>>Lời giải

Câu hỏi tự luyện: Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có độ dài cạnh bằng $a.$ Mặt phẳng chứa đường thẳng $C{D}'$ tạo với mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ góc $\alpha $ với $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ chia khối lập phương thành hai khối đa diện có thể tích ${{V}_{1}},{{V}_{2}}\text{ }\left( {{V}_{1}}>{{V}_{2}} \right).$ Khi đó ${{V}_{1}}$ bằng

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.