[Vted.vn] - Thể tích khối chóp đều


Công thức tổng quát và công thức tính nhanh thể tích khối chóp đều:

Khối chóp đều

  • Là khối chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau (hoặc góc giữa đáy và các cạnh bên bằng nhau)

  • Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy;

  • Các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau;

  • Các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau;

  • Chiều cao $h$ khối chóp xác định bởi $h=\sqrt{{{b}^{2}}-R_{d}^{2}},$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và $b$ là độ dài cạnh bên.

  • Khối chóp n giác đều, độ dài cạnh đáy là a, độ dài cạnh bên là b có $V=\dfrac{1}{24}{{a}^{2}}\cot \dfrac{\pi }{n}\sqrt{4{{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{n}}}.$

Một số trường hợp đặc biệt của khối chóp đều

  • Khối tứ diện đều cạnh $a$ có $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$ và $V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8},$ trong đó $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ là chiều cao khối tứ diện đều.  
  • Khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}.$
  • Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2(2{{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{6}.$
  • Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a,$ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
  • Khối bát diện đều cạnh $a$ là hợp của hai khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
  • Khối chóp lục giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{2}.$

>>Xem thêm: Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt

>>Xem thêm: Thể tích của khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy và thể tích của khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy

>>Xem thêm: Giải đáp học sinh - Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, SA=x, SB=SC=SD=AB=1, x=? để hình chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất.

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Khối chóp có độ dài ba cạnh bên bằng nhau

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=S{{A}_{3}}=k$ thì chân đường cao của khối chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.$ Vì vậy chiều cao khối chóp $h=\sqrt{{{k}^{2}}-R_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}^{2}}.$

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=...=S{{A}_{m}}(3\le m\le n)$ khi đó đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}$ nội tiếp và hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy trùng với tâm ngoại tiếp của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}.$

Ví dụ: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=1,$ tất cả các cạnh còn lại bằng $\sqrt{3}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

B. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$

Giải. Tứ giác $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $\sqrt{3}$ nên là một hình thoi có độ dài cạnh bằng $\sqrt{3}.$

Vì $SB=SC=SD=\sqrt{3}$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Vì tam giác $BCD$ cân tại $C$ nên $H\in AC$ là trung trực của cạnh $BD.$

Gọi $O=AC\cap BD$ chú ý $\Delta SBD=\Delta ABD(c-c-c)\Rightarrow SO=AO\Rightarrow SO=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S.$

Do đó $AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=2\Rightarrow SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}.1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ta có $B{{D}^{2}}=4O{{B}^{2}}=4\left( B{{C}^{2}}-O{{C}^{2}} \right)=4B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=12-4=8\Rightarrow BD=2\sqrt{2}.$

Do đó ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}.2.2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$ Chọn đáp án D.

Tự luyện: Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $2$ và $SB=SC=SD=2,$ cạnh $SA$ thay đổi. Gọi $M$ là trung điểm của $SA.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $MBCD$ bằng

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Đã ghim
trần trồng trộc [53314] Đã mua 2 khóa học

cho em xin bản pdf với ạ bichthuydcmd@gmail.com

0
Đã ghim
mtrang [18235] Đã mua 1 khóa học

Thầy cho chúng em tải về chứ mua khóa học rồi mà cũng như các bạn khác thì khó nghĩ quá

0
Vted
Xem tất cả