TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN K

Xét hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $K$(với $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

• Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K\Leftrightarrow {f}'(x)\ge 0,\forall x\in K$ và ${f}'(x)=0$ chỉ đạt tại hữu hạn điểm thuộc $K.$

• Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K\Leftrightarrow {f}'(x)\le 0,\forall x\in K$ và ${f}'(x)=0$ chỉ đạt tại hữu hạn điểm thuộc $K.$

Các bất phương trình trên thường cô lập tham số và dùng các kiến thức bổ sung dưới đây:

• $m\ge f(x),\forall x\in K\Leftrightarrow m\ge \underset{K}{\mathop{\max }}\,f(x).$
• $m\le f(x),\forall x\in K\Leftrightarrow m\le \underset{K}{\mathop{\min }}\,f(x).$
• Với $f(x)$ là một hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ khi đó $m\ge f(x),\forall x\in (a;b)\Leftrightarrow m\ge f(x),\forall x\in [a;b].$
• Với $f(x)$ là một hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ khi đó $m\le f(x),\forall x\in (a;b)\Leftrightarrow m\le f(x),\forall x\in [a;b].$

Nếu không cô lập được tham số nên xét nghiệm của một phương trình bậc hai, hoặc tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất bằng bất đẳng thức.

Câu 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty ).$

Câu 2.Có bao nhiêu số nguyên âm $m$ để hàm số $y=2{{x}^{3}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty ).$

Câu 3.Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0).$

Câu 4.Có bao nhiêu số nguyên âm $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}+\frac{3}{2}m{{x}^{2}}+3x+1$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty ).$

Lời giải chi tiết các ví dụ:

Câu 1. Có ${y}'=3{{x}^{2}}-12x+m\ge 0,\forall x>0\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+12x,\forall x>0.$

Ta có $-3{{x}^{2}}+12x=-3{{(x-2)}^{2}}+12\le 12,\forall x>0.$ Vậy $m\ge 12.$

Câu 2. Yêu cầu bài toán tương đương với:

${y}'=6{{x}^{2}}+\frac{3}{{{x}^{4}}}+m\ge 0,\forall x>0\Leftrightarrow m\ge -6{{x}^{2}}-\frac{3}{{{x}^{4}}},\forall x>0.$

Ta có $-6{{x}^{2}}-\frac{3}{{{x}^{4}}}=-3\left( {{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)\le -3.3\sqrt[3]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\frac{1}{{{x}^{4}}}}=-9,\forall x>0.$ Vậy $m\ge -9\Rightarrow m\in \left\{ -9,...,-1 \right\}.$ Có tất cả 9 số nguyên âm thoả mãn. Chọn đáp án C.  

Câu 3. Có ${y}'=-3{{x}^{2}}-6x+m\le 0,\forall x<0\Leftrightarrow m\le 3{{x}^{2}}+6x,\forall x<0\Leftrightarrow m\le 3{{(x+1)}^{2}}-3,\forall x<0\Leftrightarrow m\le -3.$ Chọn đáp án A.   

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thi sinh:

1. PRO X 2019: Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 - Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao 11 và 12, Ngoài ra khoá học này bao gồm cả luyện đề tức khoá PRO XPLUS. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, đều có thể theo học khoá này.
2. PRO XMAX 2019: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất cả chủ đề đã có trong khoá PRO X
3. PRO XPLUS 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán gồm 20 đề 2019 và được tặng kèm 20 đề khoá Luyện đề PRO XPLUS 2018. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình khoá PRO X. 
4. PRO XMIN 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.  

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. 

>>Xem thêm Đơn điệu với hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất