Phương trình m = f(x) có nghiệm trên K khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số f(x) trên K

Bạn đọc theo dõi ví dụ sau:

Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $64{{\left| x \right|}^{3}}={{({{x}^{2}}+1)}^{2}}\left( 12\left| x \right|+m({{x}^{2}}+1) \right)$ có nghiệm thực.

Lời giải chi tiết: Chia hai vế phương trình cho ${{({{x}^{2}}+1)}^{3}}$ ta được:

\[64{{\left( \frac{\left| x \right|}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{3}}=\frac{12\left| x \right|}{{{x}^{2}}+1}+m\Leftrightarrow m={{\left( \frac{4\left| x \right|}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{3}}-3\left( \frac{4\left| x \right|}{{{x}^{2}}+1} \right).\]

Đặt $t=\frac{4\left| x \right|}{{{x}^{2}}+1}\in [0;2]$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ do theo bất đẳng thức AM – GM ta có \[0\le \frac{4\left| x \right|}{{{x}^{2}}+1}\le \frac{4\left| x \right|}{2\sqrt{{{x}^{2}}}}=2.\]

Yêu cầu bài toán trở thành phương trình $m={{t}^{3}}-3t$ có nghiệm trên đoạn $[0;2]\Leftrightarrow -2\le m\le 2.$ Vậy có 5 số nguyên thoả mãn. Chọn đáp án C.

Lời giải: Xét hàm số $v(x)=\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}$ trên đoạn $[0;5].$ Suy ra ${v}'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x}}-\frac{1}{\sqrt{10-2x}};{v}'(x)=0\Leftrightarrow \frac{3}{2\sqrt{3x}}-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}=0\Leftrightarrow x=3.$

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_{[0;5]} v(x) = \max \left\{ {v(0),v(5),v(3)} \right\} = \max \left\{ {\sqrt {10} ,\sqrt {15} ,5} \right\} = v(3) = 5\\ \mathop {\min }\limits_{[0;5]} v(x) = \min \left\{ {v(0),v(5),v(3)} \right\} = \min \left\{ {\sqrt {10} ,\sqrt {15} ,5} \right\} = v(0) = \sqrt {10} \end{array} \right..\)

Suy ra $\underset{[0;5]}{\mathop{\min }}\,\frac{v(x)}{u(x)}=\frac{v(0)}{u(0)}=\frac{\sqrt{10}}{4};\underset{[0;5]}{\mathop{\max }}\,\frac{v(x)}{u(x)}=\frac{v(3)}{u(3)}=\frac{5}{1}=5.$

Suy ra $m=\frac{v(x)}{u(x)}\in \left[ \frac{\sqrt{10}}{4};5 \right]\Rightarrow m\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}.$ Chọn đáp án A.

Đăng kí COMBO X 2019 DÀNH CHO 2K1 TẠI ĐÂY: https://vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2019-mon-toan-danh-cho-teen-2k1-2

>>Xem thêm: Biện luận số nghiệm của một phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa vào đồ thị hàm số

>>Xem thêm: Tìm số nghiệm của phương trình dựa trên mối quan hệ của đồ thị hàm số và số điểm cực trị, số nghiệm của phương trình đạo hàm

>>Xem thêm: Tìm số nghiệm của phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa vào bảng biến thiên

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thi sinh:

1. PRO X 2019: Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 - Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao Toán 10 Toán 11 và Toán 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, đều có thể theo học khoá này. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8 đến 9 điểm. 
2. PRO XMAX 2019: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất cả chủ đề đã có trong khoá PRO X. Khoá PRO XMAX học hiệu quả nhất khi các em đã hoàn thành chương trình 12 có trong Khoá PRO X. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8,5 đếm 10 điểm.
3. PRO XPLUS 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán gồm 20 đề 2019 và được tặng kèm 20 đề khoá Luyện đề PRO XPLUS 2018. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình khoá PRO X. Khoá XPLUS tại Vted đã được khẳng định qua các năm gần đây khi đề thi được đánh giá ra rất sát so với đề thi chính thức của BGD. Khi học tại Vted nếu không tham gia XPLUS thì quả thực đáng tiếc. 
4. PRO XMIN 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.  

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. 

>>Xem thêm: Biện luận số nghiệm của một phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa vào đồ thị hàm số

>>Xem thêm: Tìm số nghiệm của phương trình dựa trên mối quan hệ của đồ thị hàm số và số điểm cực trị, số nghiệm của phương trình đạo hàm

>>Xem thêm: Tìm số nghiệm của phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa vào bảng biến thiên