Chúng ta cùng với thầy xét bài toán liên quan đến hệ số của khai triển nhị thức New - tơn và đẳng thức tổ hợp mức khá sau đây:

Bài toán: Gọi ${{a}_{k}}$ là hệ số của số hạng chứa ${{x}^{k}}$ trong khải triển ${{(1+2x)}^{n}}.$ Tìm $n$ sao cho

${{a}_{1}}+2\dfrac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}+3\dfrac{{{a}_{3}}}{{{a}_{2}}}+...+n\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n-1}}}=72.$

Lời giải: Ta có \[{{(1+2x)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{(2x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{2}^{k}}C_{n}^{k}{{x}^{k}}}\Rightarrow {{a}_{k}}={{2}^{k}}C_{n}^{k}.\] Do đó $k\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k-1}}}=k\dfrac{{{2}^{k}}C_{n}^{k}}{{{2}^{k-1}}C_{n}^{k-1}}=2k.\dfrac{\dfrac{n!}{k!(n-k)!}}{\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}=2k.\dfrac{\dfrac{1}{k}}{\frac{1}{n-k+1}}=2(n-k+1).$

Do đó \[\begin{align} & S=\sum\limits_{k=1}^{n}{k\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k-1}}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{2(n-k+1)}=2n(n+1)-2\sum\limits_{k=1}^{n}{k} \\ & =2n(n+1)-n(n+1)=n(n+1)=72\Leftrightarrow n=8. \end{align}\]

Các em có câu hỏi nào khác liên quan đến nhị thức new - tơn và đẳng thức tổ hợp vui lòng cmt bên dưới bài viết nhé!!!