Bài viết này Vted giới thiệu và Tổng hợp tất cả các dạng toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hy vọng đây là bài viết hữu ích dành cho quý bạn đọc:

A - GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Y = |F(X)|

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x+m}{x+1},\left( m\in \mathbb{R} \right).$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $\underset{[0;1]}{\mathop{\max }}\,\left| f(x) \right|+\underset{[0;1]}{\mathop{\min }}\,\left| f(x) \right|=2.$ Số phần tử của $S$ bằng

A. $6.$

B. $2.$

C. $1.$

D. $4.$

Giải.Có ${f}'(x)=\dfrac{1-m}{{{(x+1)}^{2}}}.$

+ Nếu \[1-m=0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow f(x)=1,\forall x\in [0;1]\Rightarrow \underset{[0;1]}{\mathop{\max }}\,\left| f(x) \right|=\underset{[0;1]}{\mathop{\min }}\,\left| f(x) \right|=1\Rightarrow \underset{[0;1]}{\mathop{\max }}\,\left| f(x) \right|+\underset{[0;1]}{\mathop{\min }}\,\left| f(x) \right|=2(t/m).\]

+ Nếu $1 - m < 0 \Leftrightarrow m > 1 \Rightarrow f'(x) < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{[0;1]} f(x) = f(0) = m \hfill \\ \mathop {\min }\limits_{[0;1]} f(x) = f(1) = \frac{{1 + m}}{2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Khi đó $\underset{[0;1]}{\mathop{\max }}\,\left| f(x) \right|+\underset{[0;1]}{\mathop{\min }}\,\left| f(x) \right|=m+\frac{1+m}{2}=\frac{3m+1}{2}>\frac{3.1+1}{2}=2(l).$

+ Nếu $1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1 \Rightarrow f'(x) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{[0;1]} f(x) = f(1) = \frac{{1 + m}}{2} \hfill \\ \mathop {\min }\limits_{[0;1]} f(x) = f(0) = m \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Khi đó có 3 khả năng:

+ $0\le m<1\Rightarrow \underset{[0;1]}{\mathop{\max }}\,\left| f(x) \right|+\underset{[0;1]}{\mathop{\min }}\,\left| f(x) \right|=\frac{1+m}{2}+m=\frac{3m+1}{2}<\frac{3.1+1}{2}=2(l).$

+ $\frac{1+m}{2}\le 0\Leftrightarrow m\le -1\Rightarrow \underset{[0;1]}{\mathop{\max }}\,\left| f(x) \right|+\underset{[0;1]}{\mathop{\min }}\,\left| f(x) \right|=-m-\frac{1+m}{2}=-\frac{3m+1}{2}=2\Leftrightarrow m=-\frac{5}{3}(ok).$

+ $m\left( {\frac{{1 + m}}{2}} \right) < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \mathop {\min }\limits_{[0;1]} \left| {f(x)} \right| = 0 \hfill \\ \mathop {\max }\limits_{[0;1]} \left| {f(x)} \right| = \max \left\{ {\left| m \right|,\left| {\frac{{1 + m}}{2}} \right|} \right\} = \max \left\{ { - m,\frac{{1 + m}}{2}} \right\} < 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{[0;1]} \left| {f(x)} \right| + \mathop {\min }\limits_{[0;1]} \left| {f(x)} \right| = 2(l).$

Vậy $m=1;m=-\frac{5}{3}$ là các giá trị cần tìm. Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=\left| {{x}^{2}}+x+m \right|.$ Tổng tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho $\underset{[-2;2]}{\mathop{\min }}\,y=2$ bằng

Giải. Xét $u={{x}^{2}}+x+m$ trên đoạn $[-2;2]$ ta có ${u}'=0\Leftrightarrow 2x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}.$

Do đó $A=\underset{[-2;2]}{\mathop{\max }}\,u=\max \left\{ u(-2),u\left( -\frac{1}{2} \right),u(2) \right\}=\max \left\{ m+2,m-\frac{1}{4},m+6 \right\}=m+6$ và

$a=\underset{[-2;2]}{\mathop{\min }}\,u=\min \left\{ u(-2),u\left( -\frac{1}{2} \right),u(2) \right\}=\min \left\{ m+2,m-\frac{1}{4},m+6 \right\}=m-\frac{1}{4}.$

• Nếu $a\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{4}\Rightarrow \underset{[-2;2]}{\mathop{\min }}\,y=m-\frac{1}{4}=2\Leftrightarrow m=\frac{9}{4}(t/m).$
• Nếu $A\le 0\Leftrightarrow m\le -6\Rightarrow \underset{[-2;2]}{\mathop{\min }}\,y=-(m+6)=2\Leftrightarrow m=-8(t/m).$
• Nếu $A.a<0\Leftrightarrow -6<m<\frac{1}{4}\Rightarrow \underset{[-2;2]}{\mathop{\min }}\,y=0(l).$

Vậy tổng các giá trị thực của tham số là $\frac{9}{4}-8=-\frac{23}{4}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hàm số \[f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m+1\] (\[m\] là tham số thực) . Gọi \[S\] là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của \[m\] thuộc đoạn \[\left[ -2020;2020 \right]\] sao cho \[\underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|\le 3\underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|\]. Số phần tử của \[S\] là

A. 4003.

B. 4001.                            

C. 4004.                            

D. 4002.

Giải. Có \[a=\underset{[1;4]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(2)=m-3;A=\underset{[1;4]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(4)=m+17.\]

+ Nếu $a.A<0\Rightarrow \underset{[1;4]}{\mathop{\min }}\,\left| f(x) \right|=0;\underset{[1;4]}{\mathop{\max }}\,\left| f(x) \right|>0$ (không thoả mãn).

+ Nếu $a \geqslant 0 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{[1;4]} \left| {f(x)} \right| = a;\mathop {\max }\limits_{[1;4]} \left| {f(x)} \right| = A \Rightarrow ycbt \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \geqslant 0 \hfill \\ A \leqslant 3a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 3 \geqslant 0 \hfill \\ m + 17 \leqslant 3(m - 3) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m \geqslant 13.$

+ Nếu $A \leqslant 0 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{[1;4]} \left| {f(x)} \right| = - A;\mathop {\max }\limits_{[1;4]} \left| {f(x)} \right| = - a \Rightarrow ycbt \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A \leqslant 0 \hfill \\ - a \leqslant - 3A \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m + 17 \leqslant 0 \hfill \\ - (m - 3) \leqslant - 3(m + 17) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m \leqslant - 27.$

Vậy \[m\in \left\{ -2020,...,-27,13,...,2020 \right\}\] có tất cả $4002$ số nguyên thoả mãn. Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho hàm số $f(x)=\left| \dfrac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|,\left( m\in \mathbb{R} \right).$ Có bao nhiêu số nguyên $m$ để $0<\underset{[-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)<1?$

A. $4.$

B. $8.$

C. $2.$

D. $1.$

Giải. Xét $u(x)=\dfrac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4};{u}'(x)=\dfrac{x+6+2m\sqrt{x+4}}{2{{(x+2)}^{2}}\sqrt{x+4}}$(khó đánh giá)

Có $\underset{[-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)>0\Leftrightarrow mx-2\sqrt{x+4}\ne 0,\forall x\in [-1;1]\Leftrightarrow m\ne \dfrac{2\sqrt{x+4}}{x},\forall x\in [-1;1]\backslash \{0\}\Leftrightarrow m\in \left( -2\sqrt{3};2\sqrt{5} \right).$

Đến đây thử từng giá trị nguyên của $m$ chọn được đáp án được đáp án B rồi nhé các em.

Xét ${u}'(x)=0\Leftrightarrow x+6+2m\sqrt{x+4}=0\Leftrightarrow m=g(x)=-\dfrac{x+6}{2\sqrt{x+4}}\in \left[ -\dfrac{7}{2\sqrt{5}};-\dfrac{5}{2\sqrt{3}} \right],\forall x\in [-1;1].$

+ Nếu $m\in \left[ -\dfrac{7}{2\sqrt{5}};-\dfrac{5}{2\sqrt{3}} \right]$ không có số nguyên nào thoả mãn.

+ Nếu $ - \dfrac{5}{{2\sqrt 3 }} < m < 2\sqrt 5 \Rightarrow u'(x) > 0,\forall x \in [ - 1;1] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \mathop {\min }\limits_{[ - 1;1]} u(x) = u( - 1) = \frac{{ - m - 2\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ A = \mathop {\max }\limits_{[ - 1;1]} u(x) = u(1) = \frac{{m - 2\sqrt 5 }}{6} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Khi đó $\underset{[-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=-A=-\frac{m-2\sqrt{5}}{6}<1\overset{-\frac{5}{2\sqrt{3}}<m<2\sqrt{5}}{\longleftrightarrow}-\frac{5}{2\sqrt{3}}<m<2\sqrt{5}\Rightarrow m\in \left\{ -1,...,4 \right\}.$

+ Nếu $ - 2\sqrt 3 < m < - \frac{7}{{2\sqrt 5 }} \Rightarrow u'(x) < 0,\forall x \in [ - 1;1] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \mathop {\min }\limits_{[ - 1;1]} u(x) = u(1) = \frac{{m - 2\sqrt 5 }}{6} \hfill \\ A = \mathop {\max }\limits_{[ - 1;1]} u(x) = u( - 1) = \frac{{ - m - 2\sqrt 3 }}{2} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Khi đó $\underset{[-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=-A=-\frac{-m-2\sqrt{3}}{2}<1\overset{-2\sqrt{3}<m<-\frac{7}{2\sqrt{5}}}{\longleftrightarrow}-2\sqrt{3}<m<-\frac{7}{2\sqrt{5}}\Rightarrow m\in \left\{ -3,-2 \right\}.$

Vậy $m\in \left\{ -3,...,4 \right\}.$ Có tất cả 8 số nguyên thoả mãn. Chọn đáp án B.

Ví dụ 5: Cho hàm số $f(x)=\left| \dfrac{{{x}^{4}}+ax+a}{x+1} \right|$, với $a$ là tham số thực. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[ 1;2].$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để $M\ge 2m$?

A. $10.$

B. $15.$

C. $5.$

D. $20.$

Xét $u(x)=\dfrac{{{x}^{4}}+ax+a}{x+1}=\dfrac{{{x}^{4}}}{x+1}+a\Rightarrow \underset{[1;2]}{\mathop{\max }}\,u(x)=u(2)=a+\dfrac{16}{3};\underset{[1;2]}{\mathop{\max }}\,u(x)=u(1)=a+\dfrac{1}{2}.$

+ Nếu $\left( a+\dfrac{1}{2} \right)\left( a+\dfrac{16}{3} \right)<0\Rightarrow M=\max \left\{ \left| a+\dfrac{16}{3} \right|,\left| a+\dfrac{1}{2} \right| \right\}>0;m=0$ (thoả mãn).

+ Nếu $a+\dfrac{1}{2}\ge 0\Rightarrow M=a+\dfrac{16}{3};m=a+\dfrac{1}{2}\Rightarrow ycbt\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill a+\dfrac{1}{2}\ge 0 \\ \hfill a+\dfrac{16}{3}\ge 2\left( a+\dfrac{1}{2} \right) \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le a\le \dfrac{13}{3}.$

+ Nếu $a+\dfrac{16}{3}\le 0\Rightarrow M=-\left( a+\dfrac{1}{2} \right);m=-\left( a+\dfrac{16}{3} \right)\Rightarrow ycbt\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill a+\dfrac{16}{3}\le 0 \\ \hfill -\left( a+\dfrac{1}{2} \right)\ge -2\left( a+\dfrac{16}{3} \right) \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{61}{6}\le a\le -\dfrac{16}{3}.$

Vậy $a\in \left[ -\dfrac{61}{6};\dfrac{13}{3} \right]\Rightarrow a\in \left\{ -10,...,4 \right\}.$ Chọn đáp án B.

Bài tập dành cho bạn đọc tự luyện:

Câu 1.Có bao nhiêu số thực $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;2]$ bằng $150.$

Câu 2.Có bao nhiêu số thực $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;2]$ bằng $\frac{275}{2}.$

Câu 3.Có bao nhiêu số thực $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;2]$ bằng $136.$

Câu 4.Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ trên đoạn $[-3;2]$ có giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 5.Gọi $\alpha ,\beta $ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ trên đoạn $[-3;2].$ Có bao nhiêu số nguyên $m\in (-2019;2019)$ để $2\beta \ge \alpha .$

Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3;2]$ khôngvượt quá $100.$

Câu 7.Có bao nhiêu số thực $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3;2]$ bằng $10.$

Câu 8.Có bao nhiêu số thực $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3;2]$ bằng $300.$

Câu 9.Có bao nhiêu số thực $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3;2]$ bằng $276.$

Câu 10.Cho hàm số $y=\left| {{x}^{2}}+x+m \right|.$ Tổng tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho $\underset{[-2;2]}{\mathop{\min }}\,y=2$ bằng

Câu 11. Cho hàm số $y=\left| \frac{x-{{m}^{2}}-m}{x+2} \right|.$ Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để $\underset{[1;2]}{\mathop{\max }}\,y=1.$

B - GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Y = |F(X)|+G(X)

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm kiến thức về Cấp số cộng và cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác cần nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max