Đây là bài viết rất hữu ích đối với bạn đọc, đầy đủ tất cả các trường hợp hay gặp khi tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp
Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp
Chứng minh. Xem bài giảng
$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
A. $R=\frac{13a}{2}.$ |
B. $R=6a.$ |
C. $R=\frac{17a}{2}.$ |
D. $R=\frac{5a}{2}.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122
Giải.Ta có ${{R}_{d}}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=\frac{5a}{2}.$
Vậy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{5a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{12a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{13a}{2}.$ Chọn đáp án A.
A. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{6}.$ |
B. \[\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.\] |
C. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{18}.$ |
D. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{12}.$ |
Giải. Ta có $\left\{ \begin{gathered} SA \bot SB \hfill \\ SA \bot SC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow SA \bot (SBC).$
Vì vậy $R=\sqrt{R_{SBC}^{2}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{BC}{2\sin \widehat{BSC}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{7}{12}}a.$
Diện tích mặt cầu $S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.$ Chọn đáp án B.
Khối tứ diện vuông $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc có \[R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}.\]
A. $\frac{4}{3}.$ |
B. $8.$ |
C. $\frac{8}{3}.$ |
D. $8.$ |
Giải. Ta có $R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=\sqrt{3}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=12.$
Mặt khác ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:
\[12=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{O{{A}^{2}}.O{{B}^{2}}.O{{C}^{2}}}\Rightarrow OA.OB.OC\le 8.\]
Do đó ${{V}_{OABC}}\le \frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.
$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.
A. $a=\frac{\sqrt{3}R}{3}.$ |
B. $a=2R.$ |
C. $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ |
D. $a=2\sqrt{3}R.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124
Giải. Ta có $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Vậy $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ Chọn đáp án C.
A.\[S=\dfrac{49\pi {{a}^{2}}}{144}.\]
B. \[S=\dfrac{7{{a}^{2}}}{3}.\]
C.\[S=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.\]
D. \[S=\dfrac{49{{a}^{2}}}{144}.\]
Giải. Có $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \left( R_{d}^{2}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}} \right)=4\pi \left( {{\left( \dfrac{a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}} \right)=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.$ Chọn đáp án C.
Khối tứ diện $({{H}_{1}})$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $({{H}_{2}}),$ khi đó ${{R}_{({{H}_{1}})}}={{R}_{({{H}_{2}})}}=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$
Giải.
Ta có $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}},$ trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy thì ta có
$\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID}=-{{h}^{2}}=O{{I}^{2}}-R_{d}^{2}\Leftrightarrow R_{d}^{2}=O{{I}^{2}}+{{h}^{2}}\ge {{h}^{2}}.$
Do đó $R\ge \sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4}}=\frac{h\sqrt{5}}{2}.$
Chọn đáp án C. Dấu bằng đạt tại $O\equiv I.$
Hoặc có thể sử dụng công thức $R=\sqrt{R_{d}^{2}+R_{b}^{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{b}}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.
A. $R=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.$ |
B. $R=\dfrac{a\sqrt{42}}{6}.$ |
C. $R=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$ |
D. $R=\sqrt{2}a.$ |
Giải. Ta có $R=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{2}a}{2}.\cot {{60}^{0}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$
Chọn đáp án B.
A. $5\pi {{a}^{2}}.$
B. $3\pi {{a}^{2}}.$
C. $4\pi {{a}^{2}}.$
D. $2\pi {{a}^{2}}.$
Giải. Chóp $M.{A}'{B}'{C}'$ có mặt bên $(M{A}'{C}')\bot ({A}'{B}'{C}')$ do đó
$S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \left( R_{{A}'{B}'{C}'}^{2}+R_{M{A}'{C}'}^{2}-{{\left( \dfrac{{A}'{C}'}{2} \right)}^{2}} \right)=4\pi \left( {{\left( \dfrac{\sqrt{5}a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{2a}{2} \right)}^{2}} \right)=5\pi {{a}^{2}}.$
trong đó ${{R}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{B}'{C}'}{2}=\dfrac{\sqrt{5}a}{2};M{A}'=M{C}'=\sqrt{2}a,{A}'{C}'=2a\Rightarrow M{A}'\bot M{C}'\Rightarrow {{R}_{M{A}'{C}'}}=\dfrac{{A}'{C}'}{2}=a.$
Chọn đáp án A.
A. $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$ |
B. $R=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ |
C. $R=\frac{3\sqrt{2}a}{4}.$ |
D. $R=\frac{3a}{4}.$ |
Giải.Ta có $cb=\sqrt{3}a,h=\sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}a\Rightarrow R=\frac{3{{a}^{2}}}{2\sqrt{2}a}=\frac{3\sqrt{2}a}{4}.$ Chọn đáp án C.
Giải. Áp dụng công thức tính cho trường hợp chóp có các cạnh bên bằng nau thể tích khối cầu xác định bởi
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{c{{b}^{2}}}{2h} \right)}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2\sqrt{{{x}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}} \right)}^{3}}=g(x)=\pi \dfrac{{{x}^{6}}}{6\sqrt{{{({{x}^{2}}-1)}^{3}}}}\ge \underset{(1;+\infty )}{\mathop{\min }}\,g(x)=g(\sqrt{2})=\dfrac{4\pi }{3}.$ Chọn đáp án C.
Xem thêm Ví dụ và công thức nhanh cho trường hợp khối chóp bất kì tại khoá học do Vted phát hành: https://vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2019-mon-toan-danh-cho-teen-2k1-2
Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy để lại Bình luận trong phần Bình luận ngay bên dưới Bài viết này Vted sẽ gửi cho các bạn
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:
.
dạ cho em xin file với ạ
suninmarch309nhung@gmail.com
thầy cho em xin file ạ!!!
tuannguyenlapd@gmail.com
cho em xin file ạ
huynhthithanhtuyenhuynh129@gmail.com