[Vted.vn] Tổng ôn các dạng toán Vận dụng – Vận dụng cao Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng


Tổng ôn các dạng toán Vận dụng – Vận dụng cao Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng 

Các dạng vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Xét mặt cầu $S\left( I;R \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right).$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P).$

TH1: Nếu $d(I,(P))>R$ thì $(S)$ và $(P)$ không có điểm chung.

TH2: Nếu $d(I,(P))=R$ thì $(S)$ và $(P)$ có duy nhất một điểm chung $H$, gọi là $(S)$ tiếp xúc với $(P)$ tại $H;$ $H$ được gọi là tiếp điểm và $(P)$ là mặt phẳng tiếp diện của $(S)$ tại $H.$

TH3: Nếu $d(I,(P))<R$ thì $(S)$ và $(P)$ có vô số điểm chung, lúc này $(S)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ có tâm là $H$ và bán kính xác định bởi ${{R}_{\left( C \right)}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}(I,(P))}.$

Hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng và tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu

Xét hai mặt phẳng phân biệt $\left( P \right),\text{ }\left( Q \right)$ cùng chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $S\left( I;R \right)$ tại $A$ và $B.$

Gọi $\left( IAB \right)\cap d=H=h/c\left( I,d \right)$ vì $IA\bot \left( P \right)\supset d\Rightarrow IA\bot d;$

$IB\bot \left( Q \right)\supset d\Rightarrow IB\bot d\Rightarrow d\bot \left( IAB \right)\Rightarrow d\bot IH;d\bot AB.$

Và $AB\cap IH=K$ là trung điểm $AB.$

Ta có $IA=IB=R$ và $\forall N\in d$ thì $NA=NB$ (là các tiếp tuyến kẻ từ $N$ đến $\left( S \right)$)

Do đó mặt phẳng qua $I$ chứa đường thẳng $d$ là mặt phẳng trung trực của $AB.$

Ta có $\overrightarrow{IK}=\dfrac{IK}{IH}.\overrightarrow{IH}=\dfrac{IK.IH}{I{{H}^{2}}}.\overrightarrow{IH}=\dfrac{I{{A}^{2}}}{I{{H}^{2}}}.\overrightarrow{IH}=\dfrac{{{R}^{2}}}{I{{H}^{2}}}.\overrightarrow{IH}.$

Và $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{IH};\overrightarrow{AB}\bot d\Rightarrow \overrightarrow{AB}||\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{IH} \right].$

Độ dài đoạn thẳng $AB=2AK=\dfrac{2AI.AH}{IH}=2R\sqrt{\dfrac{A{{H}^{2}}}{I{{H}^{2}}}}=2R\sqrt{\dfrac{I{{H}^{2}}-I{{A}^{2}}}{I{{H}^{2}}}}=2R\sqrt{1-{{\left( \dfrac{R}{IH} \right)}^{2}}}.$

Lấy hai điểm phân biệt tuỳ ý $M,\text{ }N\in d\Rightarrow {{V}_{ABMN}}=\dfrac{1}{6}AB.MN.HK.$

Trường hợp hai mặt phẳng $\left( P \right),\text{ }\left( Q \right)$ cùng chứa $d$ cắt mặt cầu $S\left( I;R \right)$ theo hai đường tròn giao tuyến $\left( {{C}_{1}} \right),\text{ }\left( {{C}_{2}} \right)$ thực hiện tương tự.

Ba mặt phẳng đôi một vuông góc cùng đi qua một điểm cắt mặt cầu

Xét ba mặt phẳng đôi một vuông góc $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ cùng đi qua qua điểm $A$ cắt mặt cầu $S\left( I;R \right)$ theo ba đường tròn giao tuyến $({{C}_{1}}),({{C}_{2}}),({{C}_{3}})$ có bán kính tương ứng là ${{R}_{1}},{{R}_{2}},{{R}_{3}}$

Khi đó: $R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=3{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}.$

Chứng minh. Gọi $H,K,T$ lần lượt là tâm các đường tròn $({{C}_{1}}),({{C}_{2}}),({{C}_{3}})$

Các điểm $I,H,K,T,A$ lần lượt là các đỉnh của một hình hộp chữ nhật có đường chéo $IA=\sqrt{I{{H}^{2}}+I{{K}^{2}}+I{{T}^{2}}}.$

Và $R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}\text{ }=\left( {{R}^{2}}-I{{H}^{2}} \right)+\left( {{R}^{2}}-I{{K}^{2}} \right)+\left( {{R}^{2}}-I{{T}^{2}} \right)$

$=3{{R}^{2}}-\left( I{{H}^{2}}+I{{K}^{2}}+I{{T}^{2}} \right)=3{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}.$

Mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng song song, cắt nhau

Xét mặt cầu $S\left( I;R \right)$ tiếp xúc với hai mặt phẳng song song $\left( P \right):ax+by+cz+{{d}_{1}}=0;\text{ }\left( Q \right):ax+by+cz+{{d}_{2}}=0$

Khi đó $I\in \left( R \right):ax+by+cz+\dfrac{{{d}_{1}}+{{d}_{2}}}{2}=0$ (Mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng) và $R=\dfrac{\left| {{d}_{1}}-{{d}_{2}} \right|}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}.$

Xét mặt cầu $S\left( I;R \right)$ tiếp xúc với hai mặt phẳng cắt nhau $\left( P \right):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0;\text{ }\left( Q \right):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0$ lần lượt tại $A,\text{ }B.$

+ Khi đó $I\in \left( {{R}_{1,2}} \right):\dfrac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}=\pm \dfrac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$ (Mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng).

+ Ta có \[IA\bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}||\overrightarrow{{{n}_{P}}};IB\bot \left( Q \right)\Rightarrow \overrightarrow{IB}||\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( ABI \right)}}}=\left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB} \right]||\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right].\]

+ Gọi $H=\left( IAB \right)\cap d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\Rightarrow AB\bot IH;AB\bot d$

$\Rightarrow AB\bot \left( {{R}_{1,2}} \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}\pm \dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right|}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}}.$

Mặt phẳng qua hai điểm và tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng

Xét mặt cầu $S\left( I;R \right)$ đi qua hai điểm $A,\text{ }B$ và tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng $\left( P \right).$

Khi đó $I\in \left( R \right)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$ và $R=IA=IB=\sqrt{R_{\left( C \right)}^{2}+{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}.$

Mặt phẳng chứa đường thẳng cắt mặt cầu

Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $S\left( I;R \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ ta có

${{R}_{\left( C \right)}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}$

Mặt khác $0\le d\left( I,\left( P \right) \right)\le d\left( I,d \right)\Rightarrow {{R}_{\left( C \right)}}\max =R$ xảy ra khi $I\in \left( P \right)\Leftrightarrow \left( P \right)\equiv \text{mp}\left( I,d \right)$

Và ${{R}_{\left( C \right)}}\min =\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,d \right)}$ xảy ra khi $\left( P \right)\bot \overrightarrow{IH},H=h/c\left( I,d \right).$

Ngoài ra, cùng dạng này các em cần vận dụng kiến thức biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Xem thêm ở khoá VDC XMAX)

Biện luận số mặt phẳng chứa đường thẳng, cắt mặt cầu

Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $S\left( I;R \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ ta có

${{R}_{\left( C \right)}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}$

TH1: Nếu $I\in d\Rightarrow {{R}_{\left( C \right)}}=R;I\in \left( P \right)\Rightarrow $ có vô số mặt phẳng $\left( P \right).$

TH2: Nếu $I\notin d$ xét:

KN1: $I\in \left( P \right)\Rightarrow {{R}_{\left( C \right)}}=R;\text{ }\left( P \right)\equiv \text{mp}\left( I,d \right)\Rightarrow $có duy nhất một mặt phẳng $\left( P \right).$

KN2: $I\notin \left( P \right)\Rightarrow {{R}_{\left( C \right)}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}$

+ $d\left( I,\left( P \right) \right)=d\left( I,d \right)\Rightarrow $ có duy nhất một mặt phẳng $\left( P \right).$

+ $d\left( I,\left( P \right) \right)<d\left( I,d \right)\Rightarrow $ có hai mặt mặt phẳng $\left( P \right).$

+ $d\left( I,\left( P \right) \right)>d\left( I,d \right)\Rightarrow $ không tồn tại mặt phẳng $\left( P \right).$

Mặt cầu chứa hình nón, chứa hình trụ

Xét mặt cầu $S\left( I;R \right)$ chứa hình nón $\left( N \right)$ khi đó ${{R}^{2}}=\dfrac{{{l}^{2}}}{2h}$

Xét mặt cầu $S\left( I;R \right)$ chứa hình trụ $\left( T \right)$ khi đó $4{{R}^{2}}=4{{r}^{2}}+{{h}^{2}}.$

Mặt cầu nội tiếp hình nón

Xét mặt cầu $S\left( I;R \right)$ tiếp xúc với mặt đáy và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón $\left( N \right)$ khi đó $R=\dfrac{rh}{r+l}.$

Câu 41 [Q564631440] Trong không gian $O x y z$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2 ;-m ; m+1)$ bán kính $R=\sqrt{m^2-3}$ (với $m^2-3>0$ ) và đường thẳng $d: \frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{-1}$. Có bao nhiêu giá trị thực của $m$ sao cho có duy nhất một phẳng chứa $d$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn bán kính bằng 1 ?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .

Câu 42 [Q661921935] Trong không gian $O x y z$, cho mặt cầu $(S):(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=\frac{25}{16}$. Có bao nhiêu cặp số nguyên $(a ; b)$ sao cho qua hai điểm phân biệt $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0)$ có đúng một mặt phẳng cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn bán kính bằng $\frac{3}{4}$ ?
A. 5 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 6 .

Câu 43 [Q711891661] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A(1 ; 3 ; 0), B(-3 ; 1 ; 4)$ và đường thă้ng $d: \frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{3}$. Xét khối nón $(N)$ có đỉnh $S$ nằm trên $d$; ngoại tiếp mặt cầu đường kính $A B$. Khi $(N)$ có thể tích nhỏ nhất và $S$ có toạ độ là các số nguyên thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình là $a x+b y+c z+1=0$. Giá trị của $a+b+c$ bằng
A. 3 .
B. 5 .
C. 1 .
D. -6 .

Câu 44 [Q540333300] Trong không gian $O x y z$, cho mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=25$ tâm $I$ và mặt phẳng $(P): x+2 y+2 z+6=0$. Xét hình nón $(N)$ đỉnh $S$ có đáy nằm trên $(P)$, bán kính đáy bằng 5 ; chiều cao bằng 15. Biết $I, S$ nằm về cùng một phía với mặt phẳng $(P)$. Khi mặt phẳng $(Q): x+2 y+2 z+d=0$ cắt đồng thời $(S),(N)$ thu được hai thiết diện có tổng diện tích đạt giá trị lớn thì $d$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $(-7 ;-5,5)$.
B. $(-13 ;-7)$.
C. $(-5,5 ; 5,5)$.
D. $(5,5 ; 13)$.
$\square$
Câu 45 [Q563625772] Trong không gian $O x y z$, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-4 x-6 y-6 z+21=0$. Biết hai mặt phẳng $(P),(Q)$ cùng chứa đường thẳng $d$ và lần lượt tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $A, B$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$. Tích của các khoảng cách từ các điểm $A, B, O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng
A. $\frac{1}{\sqrt{12}}$.
B. $\frac{1}{\sqrt{6}}$.
C. $\frac{\sqrt{6}}{12}$.
D. $\frac{1}{2}$.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả