VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

(1) Định nghĩa Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ véctơ có điểm đầu là $A,$ điểm cuối là $B.$

Các khái niệm về giá của véctơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai véctơ, véctơ - không, hai véctơ bằng nhau được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

(2) Các phép toán của véctơ trong không gian

Các phép toán cộng, trừ hai véctơ tương tự trong mặt phẳng.

*Quy tắc trung điểm:

Với $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB,$ ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và với $O$ là điểm bất kì ta có $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right).$

*Quy tắc hình bình hành:

Với $ABCD$ là hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$

*Tính chất trọng tâm tam giác:

Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC,$ ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ và với $O$ là điểm bất kì, ta có \[\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right).\]

*Ba điểm thẳng hàng: Với $A,B,C$ thẳng hàng và $O$ là điểm bất kì ta có \[\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+(1-x)\overrightarrow{OC}.\]

(3) Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh $A$ là $AB,AD,AA'$ và đường chéo $AC'.$ Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: \[\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}.\]

Thông thường ta sẽ đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}$ vậy theo quy tắc hình hộp, ta có \[\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.\]

Chứng minh. Theo quy tắc hình bình hành, ta có \[\begin{align} & \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AC} \\ & \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \\ \end{align} \right. \\ & \Rightarrow \overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}. \\ \end{align}\]

(4) Khái niệm về ba véctơ đồng phẳng

Xét ba véc tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ là các véctơ khác véctơ – không. Với $O$ là điểm bất kì trong không gian, xét ba điểm $A,B,C$ thoả mãn $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}.$ +) Nếu $OA,OB,OC$ cùng nằm trên một mặt phẳng ta nói ba véctơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng; trường hợp này giá của $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ luôn luôn song song với một mặt phẳng. +) Nếu $OA,OB,OC$ không thuộc cùng một mặt phẳng ta nói ba véctơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng.

(5) Định nghĩa ba véctơ đồng phẳng

Trong không gian ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

(6) Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng

Trong không gian cho hai véc tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương và véctơ $\overrightarrow{c}.$ Khi đó ba véctơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}.$ Ngoài ra bộ số (m;n) là duy nhất.

*Hệ quả: Bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng khi và chỉ khi \[\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}+(1-m-n)\overrightarrow{OD}.\]

+) Ba véctơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng khi đó \[m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow m=n=p=0.\]

(7) Biểu diễn một véctơ qua ba véctơ không đồng phẳng

Trong không gian cho ba véctơ không đồng phẳng $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}.$ Khi đó với mọi véctơ $\overrightarrow{x}$ ta luôn có $\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}.$ Ngoài ra bộ số (m;n;p) là duy nhất.

B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1. Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'.$ Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}.$

B. $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}.$

C. $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}.$

D. $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}+\overrightarrow{AA'}.$

Các em có thể xem trực tiếp tại website hoặc để lại địa chỉ email để nhận bản PDF in ra học và luyện tập nhé!