Khai triển vô hướng hai véctơ:
$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{2} = \dfrac{{A{D^2} + B{C^2} - B{D^2} - A{C^2}}}{2}. \\ \end{gathered} $
Suy ra: $\cos (AB,CD)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD} \right|}{AB.CD}=\dfrac{\left| A{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}-B{{D}^{2}}-A{{C}^{2}} \right|}{2AB.CD}.$
Ví dụ minh hoạ:
Câu 1: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=2,AC=3,AD=BC=4,BD=2\sqrt{5},CD=5.$ Tính góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD.$
A. $\arccos \frac{1}{4\sqrt{5}}.$ |
B. $\arccos \frac{1}{2\sqrt{5}}.$ |
C. $\arccos \frac{2}{\sqrt{5}}.$ |
D. $\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}.$ |
>>Lời giải chi tiết: Ta có
$\begin{gathered} \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} }}{{AC.BD}} = \frac{{\overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)}}{{AC.BD}} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} }}{{AC.BD}} \\ = \frac{{\frac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{2} - \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{2}}}{{AC.BD}} \\ = \frac{{A{D^2} + B{C^2} - C{D^2} - A{B^2}}}{{2AC.BD}} = \frac{{{4^2} + {4^2} - {5^2} - {2^2}}}{{2.3.2\sqrt 5 }} = \frac{1}{{4\sqrt 5 }}. \\ \end{gathered} $
Chọn đáp án A.
Bài tập dành cho bạn đọc tự luyện:
Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2020 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.
Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:
cho em xinn file pdf với
nickhocchui2k1@gmail.com