Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất và thực tế, cho phép tính toán khả năng xảy ra của một biến cố khi đã biết một biến cố khác đã xảy ra. Chẳng hạn:

- Xác suất bệnh nhân mắc bệnh khi xét nghiệm cho kết quả là dương tính;

- Xác suất để một người thọ 80 tuổi nếu người đó đã sống đến 60 tuổi.

Định nghĩa xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$ và $B.$ Xác suất của biến cố $A,$ tính trong điều kiện biết rằng biến cố $B$ đã xảy ra, được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$ và kí hiệu là $P\left( A|B \right).$

Công thức tính xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì, với $P(B)>0.$ Khi đó

\[P\left( A|B \right)=\dfrac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}.\]

Công thức nhân xác suất

Với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì, ta có

$P\left( AB \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( B|A \right)=P\left( B \right)\cdot P\left( A|B \right).$

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

Công thức nhân xác suất tổng quát

Với $n$ biến cố ${{A}_{1}},\text{ }{{A}_{2}},\text{ }...\text{ },\text{ }{{A}_{n}}$ bất kì, ta có

$P\left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)\cdot P\left( {{A}_{2}}|{{A}_{1}} \right)\cdot ...\cdot P\left( {{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n-1}} \right).$

Tính chất của xác suất có điều kiện

(a) Biến cố độc lập

Hai biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia, ta đã biết với $A,\text{ }B$ là hai biến cố độc lập bất kì thì $P\left( AB \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( B \right)$

và

$P\left( A|B \right)=P\left( A|\overline{B} \right)=P\left( A \right);\text{ }P\left( \overline{A}|B \right)=P\left( \overline{A}|\overline{B} \right)=P\left( \overline{A} \right)$

và

$P\left( B|A \right)=P\left( B|\overline{A} \right)=P\left( B \right);\text{ }P\left( \overline{B}|A \right)=P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=P\left( \overline{B} \right).$

(b) Biến cố đối

$P\left( A|B \right)=1-P\left( \overline{A}|B \right);\text{ }P\left( B|A \right)=1-P\left( \overline{B}|A \right)$

và

$P\left( {\overline {{A_1}} {\text{ }}\overline {{A_2}} {\text{ }}...{\text{ }}\overline {{A_n}} } \right) = 1 - P\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} \right).$

(c) Xác suất toàn phần

Giúp tính xác suất của biến cố $A$ khi không gian mẫu được phân thành các phần không giao nhau ${{E}_{1}},\text{ }{{E}_{2}},\text{ }...\text{ },\text{ }{{E}_{n}}$ (tức là ${{E}_{1}}\cup {{E}_{2}}\cup ...\cup {{E}_{n}}=\Omega $ và ${{E}_{i}}\cap {{E}_{j}}=\varnothing $ với mọi $i\ne j$ và $i,\text{ }j\in \left\{ 1,2,...,n \right\}$) và ${{E}_{1}},\text{ }{{E}_{2}},\text{ }...\text{ },\text{ }{{E}_{n}}$ được gọi là một hệ biến cố đầy đủ.

Ta có $A={{E}_{1}}A\cup {{E}_{2}}A\cup ...\cup {{E}_{n}}A.$ Các biến cố ${{E}_{1}}A,\text{ }{{E}_{2}}A,\text{ }...\text{ },\text{ }{{E}_{n}}A$ đôi một xung khắc (đôi một không giao nhau) nên

$P\left( A \right) = P\left( {{E_1}A \cup {E_2}A \cup ... \cup {E_n}A} \right) = P\left( {{E_1}A} \right) + P\left( {{E_2}A} \right) + ... + P\left( {{E_n}A} \right)$

$ = P\left( {{E_1}} \right) \cdot P\left( {A|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right) \cdot P\left( {A|{E_2}} \right) + ... + P\left( {{E_n}} \right) \cdot P\left( {A|{E_n}} \right).$

Đây chính là công thức xác suất toàn phần tổng quát các em sẽ được học trong bài học sau.

Áp dụng đơn giản nhất:

$P\left( B \right)=P\left( AB\cup \overline{A}B \right)=P\left( AB \right)+P\left( \overline{A}B \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right)\cdot P\left( B|\overline{A} \right).$

Khai thác giữa công thức nhân xác suất và xác suất có điều kiện của hai biến cố

Tính xác suất của biến cố thứ ba thông qua hai biến cố trước đó đã xảy ra hoặc không xảy ra

Công nghệ cập nhật Bayesian (Bayesian updating)

Giả sử khi nghiên cứu một vấn đề $A,$ ban đầu ta đưa ra các kịch bản $E_1, E_2, \ldots, E_n$ về $A$ với các xác suất xảy ra $A$ là $P\left(E_1\right), \ldots, P\left(E_n\right).$ Các xác suất này thể hiện sự hiểu biết ban đầu của ta về $A.$ Khi có thông tin mới $H,$ ta cập nhật hiểu biết về $A$ bằng cách tính các xác suất có điều kiện xảy ra $A$ với điều kiện $H: P\left(E_1 \mid H\right), \ldots, P\left(E_n \mid H\right).$ Khi lại có thêm thông tin mới $G,$ ta lại tiếp tục cập nhật hiểu biết của ta về $A$ bằng cách tính các xác suất có điều kiện xảy ra $A$ với điều kiện $H,G:P\left( {{E}_{1}}\mid HG \right),\ldots ,P\left( {{E}_{n}}\mid HG \right).$ Cứ như thế, sử dụng các thông tin mới, ta liên tục cập nhật các hiểu biết về $A.$ Quy trình này được gọi là công nghệ cập nhật Bayesian (công nghệ Bayesian updating). Công nghệ Bayesian updating đã và đang được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học, kĩ thuật, y học, triết học,...

Một minh hoạ ấn tượng cho ứng dụng của công nghệ Bayesian updating là câu chuyện đội tìm kiếm cứu nạn của Mỹ tìm kiếm một người đánh cá bị mất tích khi rơi xuống biển(F.D. Flam, The Odds, Continually Updated, The New York Times, September, 29, 2014). Thông tin đầu tiên mà đội tìm kiếm nhận được là ông Aldridge bị rơi xuống biển trong khoảng từ 9 giờ tối ngày 27-7-2014 đến 6 giờ sáng ngày hôm sau. Những giờ sau đó, các thông tin mới do các trực thăng và tàu cứu hộ thu thập được tiếp tục được nạp vào máy tính. Sử dụng công nghệ Bayesian updating thông qua một phần mềm gọi là Sarops, máy tính đã liên tục cập nhật và định vị ngày càng chính xác khu vực mà người mất tích có khả năng đang ở đó. Sau 12 giờ đội tìm kiếm đã phát hiện được người đánh cá đang ôm phao trôi trên biển, gần kiệt sức nhưng vẫn còn sống.

Xác suất có điều kiện (Đề số 01)

Một số câu hỏi có trong đề 01:

Câu 23 [Q982151167] Theo thống kê, ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai đều là trai là 0,27 và hai con đều là gái là 0,23 , còn con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái có cùng xác suất. Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con. Xác suất để con thứ hai là trai, biết con thứ nhất là con gái là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 24 [Q323317433] Một công ty tham gia đấu thầu hai dự án. Xác suất trúng thầu dự án thứ nhất là 0,6 . Nếu trúng thầu dự án thứ nhất thì xác suất trúng thầu dự án thứ hai tăng lên là 0,8 ; còn nếu không trúng thầu dự án thứ nhất thì xác suất trúng thầu dự án thứ hai chỉ còn là 0,2 . Xác suất để công ty đó trúng thầu đúng một dự án là

Câu 25 [Q328821224] Ba người thợ săn $A, B, C$ cùng bắn vào một con thú một cách độc lập, mỗi người bắn một viên đạn với xác suất bắn trúng của mỗi người tương ứng là 0,$4 ; 0,5 ; 0,7$. Kết quả con thú bị trúng một viên đạn. Khi xẻ thịt con thú để chia cho ba người, nếu thợ săn $A$ được chia $1,3 \mathrm{~kg}$ thịt thì thợ săn $C$ được chia bao nhiêu ki-lô-gam thịt để đảm bảo công bằng?

Câu 26 [Q123646897] An có 5 lá bài màu đỏ và 5 lá bài màu xanh. An xáo trộn 10 lá bài này và lấy ra ngẫu nhiên 5 lá bài một cách lần lượt từng lá bài một, với mỗi lá bài lấy ra An xếp chúng từ trái qua phải thành một hàng. Xác suất để tất cả các lá bài màu đỏ được xếp kề nhau và tất cả các lá bài màu xanh được kề nhau là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn đến hàng phần chục). Ví dụ: đỏ, xanh, xanh, xanh, xanh hoặc xanh, xanh, đỏ, đỏ, đỏ là các cách xếp thỏa mãn.

Câu 27 [Q524827177] Một chiếc bình đựng một quả bóng đỏ và một quả bóng xanh. An thực hiện lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ bình, sau đó lấy thêm ở bên ngoài một quả bóng cùng màu với quả bóng vừa lấy ra và trả lại hai quả bóng đó vào bình. Sau bốn lần thực hiện như vậy, bình đựng sáu quả bóng. Xác suất để bình đựng ba quả bóng của mỗi màu là bao nhiêu phần trăm?

Câu 28 [Q909899490] Một bộ bài đặc biệt chứa 49 lá bài, mỗi lá được dán nhãn bằng một số từ 1 đến 7 và được tô bằng một trong bảy màu. Mỗi tổ hợp số-màu xuất hiện trên đúng một lá bài. An chọn ngẫu nhiên một bộ 8 lá bài từ bộ bài đó. Biết rằng An nhận được ít nhất một lá bài của mỗi màu và ít nhất một lá bài với mỗi số, xác suất để An có thể loại bỏ một trong những lá bài của mình mà vẫn có ít nhất một lá bài của mỗi màu và ít nhất một lá bài với mỗi số là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 34 [Q824958647] Tại một bệnh viện, khi bệnh nhân đến khám bệnh $A$ thì tỷ lệ mắc bệnh $A$ là $10 \%$. Để chẩn đoán người ta làm phản ứng miễn dịch, nếu mắc bệnh thì phản ứng miễn dịch cho kết quả dương tính là $95 \%$ còn nếu không mắc bệnh thì phản ứng miễn dịch cho kết quả dương tính chỉ có $10 \%$. Xác suất chuẩn đoán đúng là bao nhiêu phần trăm?
$\square$
Câu 35 [Q613522361] Cho $S$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của $20^9$. Ba bạn An, Bình và Cường, mỗi người viết lên bảng ngẫu nhiên một số thuộc $S$. Xác suất số Cường viết chia hết cho số Bình viết là bao nhiêu phần trăm, biết rằng số Bình viết chia hết cho số An viết? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 36 [Q871556783] Tiến sĩ An đang nghiên cứu về ba yếu tố rủi ro ảnh hưởng đến sức khỏe của nam giới, được ký hiệu là $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ và C . Đối với mỗi yếu tố trong ba yếu tố, xác suất một người đàn ông được chọn ngẫu nhiên chỉ có yếu tố rủi ro này và không có yếu tố nào khác là 0,1 . Đối với bất kỳ hai trong ba yếu tố, xác suất một người đàn ông được chọn ngẫu nhiên có chính xác hai yếu tố rủi ro này (nhưng không có yếu tố thứ ba) là 0,14 . Xác suất một người đàn ông được chọn ngẫu nhiên có cả ba yếu tố rủi ro, với điều kiện anh ta có A và B là $\frac{1}{3}$. Xác suất một người đàn ông không có yếu tố rủi ro nào trong ba yếu tố rủi ro, với điều kiện anh ta không có yếu tố rủi ro A là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
han tram? (lam tron ket qua den hang phan tram).

Câu 37 [Q836808847] Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ trên sân ga. Có 9 hành khách lần lượt lên tàu, mỗi người chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 toa. Mỗi toa tàu đều có thể chứa đến 9 hành khách và trước đó mỗi toa tàu chưa có hành khách nào trên đó. Biết rằng toa tàu nào cũng có ít nhất 2 hành khách, xác suất để mỗi toa có đúng 3 hành khách là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 38 [Q080309030] Một chiếc máy bay có ba bộ phận $A, B, C$ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất bị hỏng trong thời gian làm việc của các bộ phận này tương ứng là 0,$2 ; 0,4 ; 0,3$. Cuối ngày làm việc được thông báo có hai bộ phận bị hỏng. Xác suất để hai bộ phận bị hỏng là $A$ và $B$ bằng bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 57 [Q132282686] Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 58 [Q852154675] Có 3 hộp đựng bi: hộp I có 3 bi đỏ và 2 bi trắng; hộp II có 2 bi đỏ và 2 bi trắng; hộp III không có viên bi nào. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp I và 1 viên bi từ hộp II rồi bỏ 2 viên bi này vào hộp III. Sau đó từ hộp III lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp III màu đỏ, xác suất để đó là viên bi được chuyển từ hộp I sang hộp III là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 59 [Q952882763] Có hai hộp đựng bi: Hộp I có 4 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng lấy ngẫu nhiên từ hộp $I$ ra một viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra sau cùng màu đỏ, xác suất để viên bi đó là viên bi được chuyển từ hộp I sang hộp II là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 60 [Q879369773] Có 3 hộp đựng bi: hộp I có 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II có 4 bi đỏ và 6 bi trắng; hộp III có 5 bi đỏ và 5 bi trắng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp $I$ và 1 viên bi từ hộp II rồi bỏ 2 viên bi này vào hộp III. Sau đó từ hộp III lấy ra ngẫu nhiên 2 viên bi. Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp III có đủ cả hai màu, xác suất để các viên bi đó là viên bi được chuyển từ hộp I và hộp II sang hộp III là $\frac{p}{q}$ với $p, q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q$.

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Xác suất có điều kiện (Đề số 02)

Câu 40 [Q537318283] Có 100 học sinh tham gia một trại hè có thể hát, nhảy hoặc diễn xuất. Một số học sinh có nhiều hơn một tài năng, nhưng không có học sinh nào có cả ba tài năng kể trên. Có 42 học sinh không biết hát, 65 học sinh không biết nhảy và 29 học sinh không biết diễn xuất. Có 32 học sinh biết hát và biết nhảy, 8 học sinh biết nhảy và biết diễn xuất. Chọn ngẫu nhiên một học sinh tham gia trại hè. Xác suất để học sinh này có đúng hai trong số những tài năng trên, nếu biết rằng học sinh này không biết nhảy là $\frac{p}{q}$ với $p, q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q$.

Câu 41 [Q263888748] Tỉ lệ người mắc bệnh $X$ tại một vùng là $5 \%$. Việc chuẩn đoán mắc bệnh $X$ được tiến hành qua hai bước: chuẩn đoán lâm sàng và xét nghiệm toàn bộ. Nếu chuẩn đoán lâm sàng kết luận là mắc bệnh thì người ta sẽ cho tiến hành xét nghiệm toàn bộ. Xác suất chuẩn đoán lâm sàng đúng $80 \%$ đối với người mắc bệnh và sai đối với người không mắc bệnh là $3 \%$. Xét nghiệm toàn bộ có xác suất kết luận đúng với người mắc bệnh là $99 \%$ và sai đối với người không mắc bệnh là $1 \%$. Chọn ngẫu nhiên một người tại vùng này và người này được kiểm tra qua hai bước nêu trên. Kết luận cuối cùng là người này mắc bệnh (cả hai chuẩn đoán đều kết luận mắc bệnh). Xác suất kết luận sai là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn đến hàng phần nghìn).

Câu 42 [Q682616841] Trong một báo cáo, xét nghiệm Mammography người mắc bệnh ung thư vú cho kết quả dương tính với xác suất là $90 \%$, người không mắc bệnh ung thư vú cho kết quả âm tính với xác suất $97 \%$. Nghiên cứu dịch tễ học chỉ ra tỉ lệ mắc ung thư vú của phụ nữ trong độ tuổi 55 là $1 \%$. Một phụ nữ 55 tuổi, không có tiền sử ung thư vú thực hiện xét nghiệm Mammography hai lần độc lập nhau đều nhận được kết quả là dương tính. Xác suất người phụ nữ đó mắc bệnh ung thư vú là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 43 [Q786867188] Một người bị sốt đã vào bệnh viện để khám. Bác sĩ cho rằng anh ta chỉ có thể bị nhiễm một trong 2 loại vi rút A hoặc B . Thống kê cho thấy tỉ lệ người nhiễm vi rút A cao gấp đôi tỉ lệ người nhiễm vi rút B . Bác sĩ chỉ định anh ta làm 2 xét nghiệm độc lập M và N . Biết rằng nếu nhiễm vi rút A thì xét nghiệm M cho kết quả dương tính với xác suất là 0,85 ; còn xét nghiệm N cho kết quả dương tính với xác suất là 0,75 . Trong trường hợp nhiễm vi rút B thì xét nghiệm M cho kết quả dương tính với xác suất là 0,1 ; còn xét nghiệm N cho kết dương tính với xác suất là 0,15 . Sau khi làm 2 xét nghiệm trên, cả hai đều cho kết quả dương tính thì xác suất người đó nhiễm vi rút A là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 44 [Q325754718] Trung tâm cứu nạn quốc gia nhận được tin báo là có một máy bay rơi. Theo đánh giá thì xác suất máy bay rơi ở vùng núi và vùng biển tương ứng là 0,$6 ; 0,4$. Xác suất tìm thấy máy bay rơi ở những nơi đó tương ứng là 0,$9 ; 0,1$. Đầu tiên, người ta cử ngay một đội tìm kiếm đến vùng núi và không tìm thấy máy bay rơi. Sau đó, người ta cử tiếp hai đội tìm kiếm khác đến tìm ở cả hai nơi và vẫn không tìm thấy máy bay rơi. Vậy xác suất máy bay rơi ở vùng núi là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 45 [Q234108456] Một nhà máy sản xuất sản phẩm A có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là $2 \%$. Nhà máy sử dụng hai hệ thống kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi:
Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $95 \%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $1 \%$.

Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $90 \%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $5 \%$.

Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi. Tính xác suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi. Kết quả xác suất này sau khi đã làm tròn đến hàng phần nghìn là số có dạng $0,0 a b$ (ví dụ nếu kết quả là 0,024 thì $a=2, b=4$ ). Tính giá trị của $a+b$.

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.