Định lí. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $K$ với $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
a) Nếu $f^{\prime}(x)>0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K.$
b) Nếu $f^{\prime}(x)<0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K.$
c) Nếu $f^{\prime}(x)=0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ không đổi trên $K.$
Áp dụng định lí này vào các hàm số cơ bản đã học (các em nên ghi nhớ)
Hàm số bậc nhất $y=ax+b$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}.$
Ta có ${y}'=a.$
+ Nếu $a>0\Rightarrow {y}'>0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
+ Nếu $a<0\Rightarrow {y}'<0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
+ Nếu $a=0\Rightarrow {y}'=0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $hàm số không đổi trên $\mathbb{R}.$
Hàm số mũ $y={{a}^{x}}$ với $0<a\ne 1$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}.$
Ta có ${y}'={{a}^{x}}.\ln a.$
+ Nếu $a>1\Rightarrow \ln a>0\Rightarrow {y}'>0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
+ Nếu $0<a<1\Rightarrow \ln a<0\Rightarrow {y}'<0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
Hàm số logarit $y={{\log }_{a}}x$ với $0<a\ne 1$ có tập xác định là $D=\left( 0;+\infty \right).$
Ta có ${y}'=\dfrac{1}{x.\ln a}.$
+ Nếu $a>1\Rightarrow \ln a>0\Rightarrow {y}'>0,\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow $hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
+ Nếu $0<a<1\Rightarrow \ln a<0\Rightarrow {y}'<0,\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow $hàm số nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Hàm số luỹ thừa với số mũ không nguyên $y={{x}^{\alpha }}\text{ }\left( \alpha \notin \mathbb{Z} \right)$ có tập xác định là $\left( 0;+\infty \right).$
Ta có ${y}'=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}.$
+ Nếu $\alpha >0\Rightarrow {y}'>0,\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow $hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
+ Nếu $\alpha <0\Rightarrow {y}'<0,\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow $hàm số nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Hàm số bậc nhất/bậc nhất $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( a,b,c,d\in \mathbb{R};c\ne 0 \right)$ ta có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{d}{c} \right\}$ và ${y}'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}.$
+ Nếu $ad-bc>0\Rightarrow {y}'>0,\text{ }\forall x\in D\Rightarrow $hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\left( -\infty ;-\dfrac{d}{c} \right),\text{ }\left( -\dfrac{d}{c};+\infty \right).$
+Nếu $ad-bc<0\Rightarrow {y}'<0,\text{ }\forall x\in D\Rightarrow $hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\left( -\infty ;-\dfrac{d}{c} \right),\text{ }\left( -\dfrac{d}{c};+\infty \right).$
+Nếu $ad-bc<0\Rightarrow {y}'=0,\text{ }\forall x\in D\Rightarrow $hàm số không đổi trên mỗi khoảng xác định $\left( -\infty ;-\dfrac{d}{c} \right),\text{ }\left( -\dfrac{d}{c};+\infty \right).$
Định lí. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $K$ với $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
+ Nếu ${f}'(x)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và ${f}'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của $K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K.$
+ Nếu ${f}'(x)\le 0$ với mọi $x\in K$ và ${f}'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của $K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K.$
Ví dụ 1. Xét hàm số $y={{x}^{3}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}.$
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${y}'=0\Leftrightarrow x=0$ (thoả mãn điều kiện chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Ví dụ 2. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2024}},\forall x\in \mathbb{R}.$
Ta có ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;-1;2 \right\}$ (thoả mãn điều kiện chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Ví dụ 3. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thoả mãn:
a) ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R};$
b) ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 1;2;3;...;2024 \right\}.$
Ta có ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 1;2;3;...;2024 \right\}$ (thoả mãn điều kiện chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Ví dụ 4. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thoả mãn:
i) ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R};$
ii) ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\in \left[ 1;3 \right].$
Mệnh đề |
Đ |
S |
a) Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}.$ |
|
|
b) Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;1 \right),\text{ }\left( 3;+\infty \right).$ |
|
|
c) Hàm số đã cho không đổi trên đoạn $\left[ 1;3 \right].$ |
|
|
d) Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}.$ |
|
|
Giải. a) S b) Đ c) Đ d) S.
Ta có ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\in \left[ 1;3 \right]$ (không thoả mãn điều kiện chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) nên hàm số đã cho không đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Từ hai điều kiện đã cho, ta có: ${f}'\left( x \right)>0,\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$ và ${f}'\left( x \right)=0,\text{ }\forall x\in \left[ 1;3 \right].$
Nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;1 \right),\text{ }\left( 3;+\infty \right).$ Hàm số không đổi trên đoạn $\left[ 1;3 \right].$
Ví dụ 5. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left( a;b \right).$
Mệnh đề |
Đ |
S |
a) Nếu ${f}'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in \left( a;b \right)$ và dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right).$ |
|
|
b) Nếu ${f}'\left( x \right)\le 0$ với mọi $x\in \left( a;b \right)$ và dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( a;b \right).$ |
|
|
c) Nếu ${f}'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in \left( a;b \right)$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right).$ |
|
|
d) Nếu ${f}'\left( x \right)\le 0$ với mọi $x\in \left( a;b \right)$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( a;b \right).$ |
|
|
Giải. a) Đ b) Đ c) S d) S.
- Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu hay xét tính đơn điệu hay xét chiều biến thiên của hàm số.
- Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập $K$ thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.
- Nếu hàm số đơn điệu trên $K$ thì tất nhiên hàm số đơn điệu trên $D\subset K,$ với $K,\text{ }D$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y=f(x):$
Ngoài ra các em có thể làm gọn như sau:
Sau khi tìm tập xác định và tính đạo hàm $f^{\prime}(x).$
+ Tìm khoảng đồng biến giải ${f}'\left( x \right)>0;$
+ Tìm khoảng nghịch biến giải ${f}'\left( x \right)<0.$
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y={{x}^{2}}-4x+1.$
Sử dụng MTCT (Casio 580 VNX) để lập nhanh bảng biến thiên của hàm số bậc hai
MENU 9 2 2 và nhập hàm số bậc hai $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ rồi nhấn = liên tiếp.
KN1: GTNN của $y=a{{x}^{2}}+bx+c$
$x={{x}_{0}};y={{y}_{0}}.$
KN2: GTLN của $y=a{{x}^{2}}+bx+c$
$x={{x}_{0}};y={{y}_{0}}.$
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^3-6 x^2+9 x+30.$
Giải. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-12x+9\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=3.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$và đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right),\text{ }\left( 3;+\infty \right).$
Sử dụng MTCT (Casio 580 VNX) để lập nhanh bảng biến thiên của hàm số bậc ba
MENU 9 2 3 và nhập hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ rồi nhấn = liên tiếp.
KN1: Không có CĐ/CT
KN2: Cực đại của $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$
$x={{x}_{1}};y={{y}_{1}}.$
Cực tiểu của $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$
$x={{x}_{2}};y={{y}_{2}}.$
Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+1.$ Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( a;\text{ }b \right)$ với $a<b$ sao cho hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)?$
A. $17.$ |
B. $10.$ |
C. $34.$ |
D. $37.$ |
Giải. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x>0\Leftrightarrow 0<x<4\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right).$
Do đó hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)\Leftrightarrow $$\left( a;b \right)\subset \left( 0;4 \right)\Leftrightarrow 0\le a<b\le 4.$
Xét lần lượt $a=0\Rightarrow b\in \left\{ 1,2,3,4 \right\};a=1\Rightarrow b\in \left\{ 2,3,4 \right\};a=2\Rightarrow b=\left\{ 3,4 \right\};a=3\Rightarrow b=4.$
Vậy có $4+3+2+1=10$ cặp số nguyên thoả mãn. Chọn đáp án B.
+ Hàm số $y=\dfrac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)}$ có đạo hàm ${y}'=\dfrac{{u}'\left( x \right).v\left( x \right)-{v}'\left( x \right).u\left( x \right)}{{{v}^{2}}\left( x \right)}.$
+ Đặc biệt: $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow {y}'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}.$
Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của hàm số $y=\dfrac{x-2}{x+1}.$
Giải. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \backslash\{-1\}.$
Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{(x+1)-(x-2)}{(x+1)^2}=\dfrac{3}{(x+1)^2}>0$, với mọi $x \neq-1.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1 ;+\infty).$
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\dfrac{x^2-2 x+5}{x-1}.$
Giải. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \backslash\{1\}.$
Ta có ${y}'=\dfrac{(2x-2)(x-1)-\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)}{{{(x-1)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{(x-1)}^{2}}}\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=3.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(3 ;+\infty).$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1 ; 1)$ và $(1 ; 3).$
Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\dfrac{x^2-2 x+9}{x-2}.$
Giải. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \backslash\{2\}.$
Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{(2 x-2)(x-2)-\left(x^2-2 x+9\right)}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4 x-5}{(x-2)^2} ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=5.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(5;+\infty ).$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;2)$ và $(2;5).$
Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{{{x}^{2}}-x+1}.$
Giải. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$
Ta có ${y}'=\dfrac{\left( 2x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{-2{{x}^{2}}+4x}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}.$
Xét ${y}'>0\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+4x>0\Leftrightarrow 0<x<2$ và ${y}'<0\Leftrightarrow x<0\vee x>2.$
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;0 \right);\text{ }\left( 2;+\infty \right).$
Ví dụ 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+2x-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}.$
Giải. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$
Ta có ${y}'=\dfrac{\left( 2x+2 \right){{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-4x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{4}}}$
$=\dfrac{\left( 2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)-4x\left( {{x}^{2}}+2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}=\dfrac{-2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+6x+2}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}.$
Xét ${y}'>0\Leftrightarrow -2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+6x+2>0\Leftrightarrow x<-2-\sqrt{3}$ hoặc $-2+\sqrt{3}<x<1.$
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2-\sqrt{3} \right);\text{ }\left( -2+\sqrt{3};1 \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -2-\sqrt{3};-2+\sqrt{3} \right)\text{; }\left( 1;+\infty \right).$
Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right):$
+ Tìm khoảng đồng biến: Tìm khoảng $a<x<b$ mà đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi lên.
+ Tìm khoảng nghịch biến: Tìm khoảng $a<x<b$ mà đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi xuống.
Cho bảng biến thiên (không có dòng đạo hàm) của hàm số $y=f\left( x \right):$
+ Tìm khoảng đồng biến: Tìm khoảng $a<x<b$ mà giá trị của $f\left( x \right)$ tăng.
+ Tìm khoảng nghịch biến: Tìm khoảng $a<x<b$ mà giá trị của $f\left( x \right)$ giảm.
Cho bảng xét dấu của đạo hàm $y={f}'\left( x \right):$
+ Tìm khoảng đồng biến: Tìm khoảng $a<x<b$ mà ${f}'\left( x \right)>0.$
+ Tìm khoảng nghịch biến: Tìm khoảng $a<x<b$ mà ${f}'\left( x \right)<0.$
Cho biểu thức của đạo hàm $y={f}'\left( x \right):$ Lập bảng xét dấu và thực hiện tương tự phía trên.
Cho đồ thị của đạo hàm $y={f}'\left( x \right):$
+ Tìm khoảng đồng biến: Tìm khoảng $a<x<b$ mà đồ thị ${f}'\left( x \right)$ nằm trên trục hoành.
+ Tìm khoảng nghịch biến: Tìm khoảng $a<x<b$ mà đồ thị ${f}'\left( x \right)$ nằm dưới trục hoành.
Cần ghi nhớ các công thức tính đạo hàm sau:
+ Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left[ u\left( x \right) \right]\Rightarrow {g}'\left( x \right)={u}'\left( x \right).{f}'\left[ u\left( x \right) \right];$
+ Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left[ u\left( x \right) \right]+v\left( x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={u}'\left( x \right).{f}'\left[ u\left( x \right) \right]+{v}'\left( x \right);$
+ Xét hàm số $g\left( x \right)={{\left[ f\left( x \right) \right]}^{\alpha }}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\alpha {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{\alpha -1}}.{f}'\left( x \right);$
+ Xét hàm số $g\left( x \right)={{\left[ f\left[ u\left( x \right) \right] \right]}^{\alpha }}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\alpha {{\left[ f\left[ u\left( x \right) \right] \right]}^{\alpha -1}}.{u}'\left( x \right).{f}'\left[ u\left( x \right) \right].$
Bước còn lại, tìm khoảng đơn điệu sử dụng các kĩ năng xét dấu của hàm số một biến.
Ví dụ 1.
Ví dụ 2. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ:
Hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-4x+7$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $\left( 1;2 \right).$ |
B. $\left( -\infty ;1 \right).$ |
C. $\left( 2;3 \right).$ |
D. $\left( \dfrac{5}{2};+\infty \right).$ |
Giải. Ta có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-4>0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)>2\Leftrightarrow 1<x<2$ hoặc $x>3.$ Đối chiếu đáp án chọn A.
Ví dụ 1. Thể tích của $1\text{ kg}$ nước tại nhiệt độ $T\text{ }\left( {{0}^{{}^\circ }}\text{C}\le T\le {{30}^{{}^\circ }}\text{C} \right)$ được tính bởi công thức sau:
\[V(T)=999,87-0,06426T+0,0085043{{T}^{2}}-0,0000679{{T}^{3}}\text{ }\left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\text{.}\]
Hỏi thể tích $V(T), 0^{\circ} \mathrm{C} \leq T \leq 30^{\circ} \mathrm{C}$, giảm trong khoảng nhiệt độ nào? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của $^{{}^\circ }\text{C}.$
A. từ ${{0}^{{}^\circ }}\text{C}$ đến ${{4}^{{}^\circ }}\text{C}.$ |
B. từ ${{6}^{{}^\circ }}\text{C}$ đến ${{30}^{{}^\circ }}\text{C}.$ |
C. từ ${{4}^{{}^\circ }}\text{C}$ đến ${{30}^{{}^\circ }}\text{C}.$ |
D. từ ${{0}^{{}^\circ }}\text{C}$ đến ${{6}^{{}^\circ }}\text{C}.$ |
Giải. Ta có \[{V}'\left( T \right)=-0,06426+2\times 0,0085043T-3\times 0,0000679{{T}^{2}}<0\Leftrightarrow T<3,96651\] hoặc \[T>79,5318.\]
Như vậy thể tích của nước giảm trong khoảng nhiệt độ từ ${{0}^{{}^\circ }}\text{C}$ đến ${{4}^{{}^\circ }}\text{C}.$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 2. Giả sử số dân của một thị trấn (tính bằng nghìn người) sau $t$ năm kể từ năm $2000$ được mô tả bởi hàm số:
\[N(t)=\dfrac{25t+10}{t+5},\text{ }t\ge 0.\]
Mệnh đề |
Đ |
S |
a) Số dân của thị trấn vào các năm $2000$ và $2015$ lần lượt là \[2\] nghìn người và $19,25$ nghìn người. |
|
|
b) Tốc độ thay đổi dân số của thị trấn là ${N}'\left( t \right)=\dfrac{115}{{{\left( t+5 \right)}^{2}}}.$ |
|
|
c) Số dân của thị trấn luôn tăng nhưng không vượt quá $25$ nghìn người. |
|
|
d) Số dân của thị trấn luôn giảm nhưng không nhỏ hơn $2$ nghìn người. |
|
|
Giải. a) Số dân của thị trấn vào các năm $2000$ và $2015$ tương ứng với $t=0,\text{ }t=15$ lần lượt là \[N\left( 0 \right)=2\] nghìn người và $N\left( 15 \right)=19,25$ nghìn người.
b) Tốc độ thay đổi dân số của thị trấn là $N'\left( t \right) = \dfrac{{25\left( {t + 5} \right) - \left( {25t + 10} \right)}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{{115}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}}.$
c) Vì ${N}'\left( t \right)=\dfrac{115}{{{\left( t+5 \right)}^{2}}}>0,\text{ }\forall t\ge 0$ và $\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,N\left( t \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{25t+10}{t+5}=25$ nên số dân của thị trấn luôn tăng nhưng không vượt quá $25$ nghìn người.
Ví dụ 3. Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số $P(t)=\dfrac{a}{b+{{e}^{-0,75t}}},$ trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu $t=0,$ quần thể có $20$ tế bào và tăng với tốc độ $12$ tế bào/giờ.
Mệnh đề |
Đ |
S |
a) Giá trị của $a$ và $b$ lần lượt là $25$ và $\dfrac{1}{4}.$ |
|
|
b) Số lượng quần thể nấm men luôn tăng nhưng không vượt quá $100$ tế bào. |
|
|
c) Tốc độ thay đổi số lượng quần thể nấm men giảm khi $t\in \left( \dfrac{8\ln 2}{3};+\infty \right).$ |
|
|
d) Số lượng quần thể nấm men tăng với tốc độ lớn nhất là $18,75$ tế bào/giờ. |
|
|
Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS
PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)
XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)
LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)
Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng
Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng
Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN
Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.
Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.
Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)
Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.
Khoá học Biên soạn dựa trên:
Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm
Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: