[XPLUS 2023] Đề thi đánh giá năng lực Môn Toán Bộ Công An năm 2023 (Đề số 01)

Câu I. (2 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+5\] trên đoạn \[\left[ -1;2 \right]\].

2) Cho hàm số \[y=\dfrac{-4x+12}{x+1}\] có đồ thị là \[\left( C \right),\] đường thẳng \[d:y=2x+m\]. Chứng minh rằng \[d\] cắt \[\left( C \right)\] tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số \[m.\]

Câu II. (2 điểm)

1) Tìm số phức \[z\] thỏa mãn \[z-2\overline{z}=2+15i.\]

2) Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\dfrac{3x+2}{{{x}^{2}}+3x+2}.\]

Câu III. (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho điểm \[I\left( 1;2 \right)\] và đường thẳng \[d:3x-4y+10=0\]. Viết phương trình đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\] và tiếp xúc với đường thẳng \[d\].

2) Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-3}{-2}\] và mặt cầu \[\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+6z-6=0\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] chứa đường thẳng \[d\] sao cho giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( S \right)\] là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

Câu IV. (2 điểm)

1) Cho tập hợp \[A=\left\{ 1;2;...;20 \right\}\] gồm 20 số nguyên dương đầu tiên. Lấy ngẫu nhiên hai số phân biệt từ tập \[A\]. Tìm xác suất để tích hai số được chọn là một số chia hết cho \[6.\]

2) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác cân tại \[A,\widehat{BAC}=120{}^\circ ,AB=AC=a.\] Tam giác \[SAB\] vuông tại \[B\], tam giác \[SAC\] vuông tại \[C\], góc giữa hai mặt phẳng \[\left( SAB \right)\] và \[\left( ABC \right)\] bằng \[60{}^\circ \]. Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của điểm \[S\] lên mặt phẳng \[\left( ABC \right)\]. Chứng minh rằng \[HB\] vuông góc với \[AB\] và tính thể tích khối chóp \[S.ABC\] theo \[a.\]

Câu V. (2 điểm)

1) Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{{{x}^{2}}.\sin x}{x.\sin x+\cos x}dx}.\]

2) Cho các số thực dương \[x,y\] thay đổi thỏa mãn \[{{\log }_{2}}\left( x+y \right)+\dfrac{x}{y}={{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}y}{2}+{{x}^{2}}.\] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}.\]

Đề thi này được Vted phát hành trong khoá Luyện đề Xplus

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem đề thi đã phát hành trước đó: [XMIN 2023] Đề số 50 - Đề thi thử Toán TN THPT 2023 lần 1 trường THPT Đồng Lộc – Hà Tĩnh