ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TOÁN 11
Bài toán: Cho phương trình $a{{x}^{2}}+(2b+c)x+2d+e=0$ có nghiệm không nhỏ hơn 4.
Chứng minh phương trình $a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e=0$ có nghiệm.
Giải.
Kí hiệu $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e=0.$ Giả sử ${{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình bậc hai đã cho, ta có ${{x}_{0}}\ge 4$ và $ax_{0}^{2}+(2b+c){{x}_{0}}+2d+e=0\Rightarrow ax_{0}^{2}+c{{x}_{0}}+e=-2(b{{x}_{0}}+d).$
Khi đó
$\begin{align} & f(-\sqrt{{{x}_{0}}})f(\sqrt{{{x}_{0}}})=\left[ ax_{0}^{2}-b{{x}_{0}}\sqrt{{{x}_{0}}}+c{{x}_{0}}-d\sqrt{{{x}_{0}}}+e \right].\left[ ax_{0}^{2}+b{{x}_{0}}\sqrt{{{x}_{0}}}+c{{x}_{0}}+d\sqrt{{{x}_{0}}}+e \right] \\ & =\left[ -b{{x}_{0}}\sqrt{{{x}_{0}}}-2(b{{x}_{0}}+d)-d\sqrt{{{x}_{0}}} \right].\left[ b{{x}_{0}}\sqrt{{{x}_{0}}}-2(b{{x}_{0}}+d)+d\sqrt{{{x}_{0}}} \right] \\ & =4{{(b{{x}_{0}}+d)}^{2}}-{{\left( b{{x}_{0}}\sqrt{{{x}_{0}}}-d\sqrt{{{x}_{0}}} \right)}^{2}}={{(b{{x}_{0}}+d)}^{2}}(4-{{x}_{0}})\le 0. \end{align}$ Theo hệ quả định lí giá trị trung bình phương trình $f(x)=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\sqrt{{{x}_{0}}};\sqrt{{{x}_{0}}} \right].$
Ta có điều phải chứng minh.
Bài giảng về định lí giá trị trung bình hoặc các bài toán dành cho học sinh toán 11 thuộc chủ đề này các bạn tham khảo khoá học: Olympic toán 11 tại đây: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/olympic-toan-11-kh071103157.html
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: