Câu hỏi của ngày hôm nay như sau: 

Kí hiệu ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}$ là các nghiệm của phương trình ${{\left( \frac{z-1}{2z-i} \right)}^{4}}=1.$

Tính giá trị biểu thức \[T=(z_{1}^{2}+1)(z_{2}^{2}+1)(z_{3}^{2}+1)(z_{4}^{2}+1).\]

A. $T=-6375.$

B. $T=6375.$

C. $T=-\frac{17}{9}.$

D. $T=\frac{17}{9}.$

Giải.

Kí hiệu $f(z)={{(z-1)}^{4}}-{{(2z-i)}^{4}},$ ta có

\[\begin{align} & f(z)=-15(z-{{z}_{1}})(z-{{z}_{2}})(z-{{z}_{3}})(z-{{z}_{4}}) \\ & f(i)=-15(i-{{z}_{1}})(i-{{z}_{2}})(i-{{z}_{3}})(i-{{z}_{4}}) \\ & f(-i)=-15(-i-{{z}_{1}})(-i-{{z}_{2}})(-i-{{z}_{3}})(-i-{{z}_{4}}) \\ & f(i).f(-i)=225(z_{1}^{2}+1)(z_{2}^{2}+1)(z_{3}^{2}+1)(z_{4}^{2}+1)=225T \\ & T=\frac{1}{225}f(i)f(-i)=\frac{\left[ {{(i-1)}^{4}}-{{(2i-i)}^{4}} \right].\left[ {{(-i-1)}^{4}}-{{(-2i-i)}^{4}} \right]}{225}=\frac{17}{9}. \\ \end{align}\]

Chọn đáp án D.

*Chú ý. $f(x)=a{{x}^{n}}+....$ có $n$ nghiệm, ta có phân tích nhân tử \[f(x)=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})...(x-{{x}_{n}}).\]

*Các bạn có thể giải phương trình để có 4 nghiệm và thay vào tính T.

Các em tham khảo thêm tại khoá học: Luyện đề Toán http://vted.vn/khoa-hoc/xem/luyen-de-thi-thpt-quoc-gia-2016-mon-toan-kh362893300.html