Điều kiện để phương trình mũ có nghiệm duy nhất

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ sao cho phương trình ${{9}^{x}}+9=a{{3}^{x}}\cos (\pi x)$ có nghiệm thực duy nhất.

Trích từ bài giảng và đề thi khoá PRO XMAX Vận dụng cao 2018 Môn Toán tại Vted

Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-mon-toan-kh266161831.html

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phương trình tương đương với: ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=a\cos (\pi x).$

Nếu ${{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình tức ${{3}^{{{x}_{0}}}}+{{3}^{2-{{x}_{0}}}}=a\cos (\pi {{x}_{0}}),$ khi đó $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của phương trình vì ${{3}^{2-{{x}_{0}}}}+{{3}^{2-(2-{{x}_{0}})}}={{3}^{2-{{x}_{0}}}}+{{3}^{{{x}_{0}}}}=a\cos (\pi {{x}_{0}})=a\cos \left( \pi (2-{{x}_{0}}) \right).$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất nếu ${{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1.$

Thay ngược lại phương trình có $3+3=a\cos \pi \Leftrightarrow a=-6.$

Thử lại với $a=-6$ có ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6\cos (\pi x)$ phương trình này có nghiệm duy nhất vì $VT={{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}\ge 2\sqrt{{{3}^{x}}{{.3}^{2-x}}}=6$ và $VP=-6\cos (\pi x)\le 6.$ Dấu bằng chỉ xảy ra khi $x=1.$

Chọn đáp án A.

Trích từ bài giảng và đề thi khoá PRO XMAX Vận dụng cao 2018 Môn Toán tại Vted

Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-mon-toan-kh266161831.html