Có bao nhiêu cặp số thực $(x;y)$ thoả mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{3}}=23$ và ${{\log }_{3}}x.{{\log }_{2}}y=1.$

A. $0.$

B. $3.$

C. $1.$

D. $2.$

Lời giải:

Ta có $\left\{ \begin{align} & {{\log }_{3}}x=t \\ & {{\log }_{2}}y=\frac{1}{t} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x={{3}^{t}} \\ & y={{2}^{\frac{1}{t}}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{9}^{t}}+{{8}^{\frac{1}{t}}}=23.$

Ta phải có $t>0$ vì nếu $t<0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{\log }_{3}}x0,\forall t>0.\]

Do đó $f(t)=0$ có tối đa 2 nghiệm và $\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(t)=+\infty ,f(1)=-6<0,\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(t)=+\infty \Rightarrow f(t)=0$ có hai nghiệm phân biệt thoả mãn $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}\Rightarrow (x;y)=\left( {{3}^{{{t}_{1}}}};{{2}^{\frac{1}{{{t}_{1}}}}} \right);\left( {{3}^{{{t}_{2}}}};{{2}^{\frac{1}{{{t}_{2}}}}} \right).$

Vậy có hai cặp $(x;y)$ thoả mãn. Chọn đáp án D.