Đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 lần thứ XXIX năm 2025 Môn Toán

Kì thi diễn ra vào chiều ngày 05/04/2025. Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi. Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

>>Xem thêm: Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh

Đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 lần thứ XXIX năm 2025 Môn Toán Lớp 11

Câu 1. (3 điểm) Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l} 16 x^2+\frac{7}{x}=\frac{27}{y} \\ 16 y^2+\frac{9}{y}=\frac{21}{x} \end{array}\right.$

Câu 2. (4 điểm) Ký hiệu $\{x$ \} là phần lê của số thực $x$. Đặt

$f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x-\{x\} & \text { khi } & \{x\} \leq \dfrac{1}{2} \\ x-\{x\}+1 & \text { khi } & \{x\}>\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$

a. Tìm tập hợp tất cả các số nguyên $n$ sao cho $f(\sqrt{n})=2025$.
b. Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, đặt $u_n=\dfrac{1}{f(\sqrt{1})}+\dfrac{1}{f(\sqrt{2})}+\cdots+\dfrac{1}{f(\sqrt{n})}-2 \sqrt{n}$. Chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (4 điểm) Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho có thể điền vào bảng $4 \times 4$ mỗi ô một số trong tập hợp $\{1,2, \ldots, n\}$ sao cho mỗi số $1,2, \ldots, n$ đều có mặt trong bảng, đồng thời trong mỗi hàng và trong mỗi cột không có hai số bằng nhau hoặc hơn kém nhau 1 đơn vị.
Câu 4. (4 điểm) Gọi $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a!+2 \cdot(b!)=a^{2 b}$.
a. Chứng minh $b \neq a-2$.
b. Tìm tất cả các cặp số $(a ; b)$ thỏa mãn điều kiện đã cho.

Câu 5. (5 điểm) Cho tam giác nhọn $A B C$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $M, N$ và $P$ theo thứ tự là trung điểm của $B C, C A$ và $A B$. Gọi $X, Y$ và $Z$ theo thứ tự là giao điểm của các tiếp tuyến khác $B C, C A, A B$ kẻ từ $N$ và $P$, kẻ từ $M$ và $P$, kẻ từ $M$ và $N$ tới $(I)$, sao cho tam giác $X Y Z$ nhận $(I)$ làm đường tròn nội tiếp và các điểm $M, N, P$ theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng $Y Z, Z X, X Y$.
a. Chứng minh đường tròn nội tiếp mỗi tam giác $X P N, Y P M, Z M N$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $M N P$.
b. Chứng minh $I$ là tâm đằng phương của các đường tròn nội tiếp tam giác $X P N, Y P M$ và $Z M N$.

>>Đáp án chính thức Đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 lần thứ XXIX năm 2025 Môn Toán Lớp 11

Đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 lần thứ XXIX năm 2025 Môn Toán Lớp 10

Câu 1. (3 điểm) Cho các số thực $a_1, a_2, \ldots, a_{30}, b_1, b_2, \ldots, b_{30}$ thỏa mãn $a_i \neq 0$ với mọi $i=1,2, \ldots, 30$. Hỏi phương trình

$\max \left\{a_1 x+b_1, a_2 x+b_2, \ldots, a_{30} x+b_{30}\right\}=4$

có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
Câu 2. (4 điểm) Cho các số thực $x, y$ thoả mãn $|x| \leq 3,|y| \leq 3$. Chứng minh rằng

$0 \leq\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+4(x-1)(y-1) \leq 164$

Câu 3. (4 điểm) Các số thực dương $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ được viết trên một vòng tròn theo thứ tự đó. Biết rằng mỗi số lớn hơn tích của hai số liền trước nó: với mọi $1 \leq i \leq 100$ thì $a_i a_{i+1}<a_{i+2}$ (ta quy ước $\left.a_{101}=a_{12}, a_{102}=a_2\right)$. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương trong các số $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ ?
Câu 4. (4 điểm) Cho các số nguyên dương $a, b$ với $a>b$. Biết $a^3-b^3$ là một ước của $a b\left(a^2-b^2\right)$. Chứng minh rằng $(a-b)^3>3 a b$.
Câu 5. (5 điểm) Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường thẳng $A D$ và $B C$ cắt nhau tai $P$; các đường thẳng $A C$ và $B D$ cắt nhau tai $Q$. Gọi $M$ va $N$ tương ứng là trung điểm của $A D$ và $B C$. Ký hiệu $(L)$ và $(K)$ tương ứng là đương tròn ngoại tiếp tam giác $Q A D$ và tam giác $Q B C$. Đường thẳng $M Q$ cắt lại $(K)$ tại điểm $E$ (khác $Q$ ), đường thẳng $N Q$ cắt lại $(L)$ tại điểm $E$ (khác $Q$ ).
a) Chứng minh rằng các điểm $P, O, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Đương thẳng đi qua $L$ và vuông góc với $Q F$ cắt đường thẳng đi qua $K$ và vuông góc với $Q E$ tại điểm $T$. Chứng minh rằng các điểm $T, P$ và $O$ thẳng hàng.

>>Đáp án chính thức Đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 lần thứ XXIX năm 2025 Môn Toán Lớp 10

>>Xem thêm: [VMO 2025] - Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

KIẾN THỨC BỔ SUNG DÀNH CHO CÁC KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC, ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐƯỢC PHÁT HÀNH TRONG CHƯƠNG X KHÓA PRO X VÀ MỘT PHẦN KHÓA XMAX

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau. Các em theo dõi bài học tại website, kết hợp học Live nhóm Facebook chữa bài tập một số dạng toán đáng chú ý (Yêu cầu đăng ký cả Combo X để tham gia).

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối. Các em học Live trực tiếp trong nhóm Facebook.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Tất cả các khóa học tại Vted, các em có thể tải đề thi PDF đính kèm bài học (có thể bao gồm phần tóm tắt lý thuyết đi kèm đề thi). Trong quá trình học, phần bài tập các em xem hướng dẫn giải chi tiết thông qua tra ID hoặc QR code rất tiện lợi. Chỉ cần có thiết bị kết nối mạng.

Vted dành tặng tất cả các em học sinh đăng ký COMBO X 2026 khóa học: XMAX: TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Khóa học cung cấp kiến thức, các dạng bài và phương pháp giải của chủ đề Tổ hợp – Xác suất và thống kê (dành cho các em học sinh 10 – 11 – 12)

Mục lục khóa học cũng như các kiến thức bổ trợ Toán 10 - 11 có trong các kì thi các em xem chi tiết tại đây

Các con số thống kê về số lượng câu hỏi đi kèm học:

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.