Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 Thành Phố Hà Nội năm học 2018-2019 kèm lời giải chi tiết

>> Bộ Đề thi HSG Toán 9 Thành Phố Hà Nội từ năm học 1998-1999 đến năm học 2018-2019

Thời gian: 150 phút

Bài 1:

1. Giải phương trình:$\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}$

2. Cho $S=\left(1-\frac{2}{2.3}\right) \left(1-\frac{2}{3.4}\right)...\left(1-\frac{2}{2020.2021}\right)$ là một tích của 2019 thừa số. Tính S (Kết quả để ở dạng phân số tối giản).

Bài 2:

1.Biết $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn $a^2-ab+b^2$ Chia hết cho 9. Chứng minh rằng a và b đều chia hết cho 3.

2. Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $9^n+11$ là tích của $k$ $(k \in \mathbb{N}, k \geq 2)$ liên tiếp.

Bài 3:

1. Cho $x,y,z$ là các số tự nhiên nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng trong các số $\frac{1}{x}+\frac{1}{4-y},\frac{1}{y}+\frac{1}{4-z},\frac{1}{z}+\frac{1}{4-x}$ luôn tồn tại ít nhất một số lơn hơn hoặc bằng 1.

2. Với các số thực dưong $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=ab+bc+ca-abc$.

Bài 4:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$,$(AB < AC)$. đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $S$ là giao điểm của $AI$ và $DE$.

1. Chứng minh tam giác $IAB$ đồng dạng với tam giác $EAS$.

2. Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, $O$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh ba điểm $K,O,S$ thẳng hàng.

3. Gọi $M$ là giao điểm của $KI$ và $AC$. đường thẳng chứa đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ cắt đường thẳng $DE$ tại $N$. Chứng minh $AM=AN$.

Bài 5:

Xét bảng ô vuông 10x10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tuỳ ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung một cạnh bất kì đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trên bảng ít nhất 6 lần.

---HẾT---

TẢI VỀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

TẢI VỀ LỜI GIẢI CHI TIẾT