Ngày 08 tháng 12 năm 2020, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh môn Toán năm học 2020 – 2021.

Đề thi HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu gồm 02 trang với 16 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút.

Trích dẫn đề thi HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu:
+ Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO = 30°, SAB = 60°. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
+ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a√2. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD, cắt SB tại B’ và cắt SD tại D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
+ Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = (x^2 + 2x – m)/(x – m) đồng biến trên khoảng (-vc;-1/2).

Câu 3 (1,25 điểm). Cho hình nón đỉnh $S$ có đường cao $SO.$ Biết hai điểm $A,B$ thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ $O$ đến $AB$ bằng $a$ và $\widehat{SAO}={{30}^{0}},\widehat{SAB}={{60}^{0}}.$ Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

Câu 3. Gọi $M$ là trung điểm của $AB\Rightarrow OM\bot AB\Rightarrow OM=d(O,AB)=a.$

Do đó $AB=2\sqrt{{{r}^{2}}-O{{M}^{2}}}=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{a}^{2}}}.$

Có $\widehat{SAO}={{30}^{0}}\Rightarrow SO=OA\tan {{30}^{0}}\Rightarrow h=\frac{r}{\sqrt{3}}\Rightarrow l=\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$

Và tam giác cân $SAB$ có $\widehat{SAB}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta SAB$ đều. Vì vậy $SA=SB=AB=l.$

Vậy ta có $2\sqrt{{{r}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}-{{a}^{2}}=\frac{1}{3}{{r}^{2}}\Leftrightarrow r=\sqrt{\frac{3}{2}}a\Rightarrow l=\sqrt{2}a\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi rl=\pi \sqrt{3}{{a}^{2}}.$

Câu 9 (1,25 điểm). Cho các số thực $x,y$ khác $0$ thoả mãn ${{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)}^{\dfrac{1}{y}}}={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{y-2}}={{\left( {{y}^{2}}+1 \right)}^{x}}.$ Giá trị biểu thức $P={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}-2x+{{2}^{y}}-{{2}^{-y}}-2y$ bằng

Câu 9. Lấy logarit Nê –pe có

$\begin{gathered} \dfrac{1}{y}\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = (y - 2)\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = x\ln ({y^2} + 1) \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{y}\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = (y - 2)\ln \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}} \right) = x\ln ({y^2} + 1) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{y}\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = - (y - 2)\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = x\ln ({y^2} + 1)(*). \hfill \\ \end{gathered} $

Với $x\ne 0$ thì $g(x)=\ln (\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x)$ có ${g}'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\forall x$ và $g(0)=0.$ Do đó $g(x)\ne 0,\forall x\ne 0.$

Vì vậy \[(*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{y} = - (y - 2) \hfill \\ \dfrac{1}{y}\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = x\ln ({y^2} + 1) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 1 \hfill \\ \ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = x\ln 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 1 \hfill \\ \sqrt {{x^2} + 1} + x = {2^x} \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

Từ $\sqrt {{x^2} + 1} + x = {2^x} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {{x^2} + 1} + x = {2^x} \hfill \\ \sqrt {{x^2} + 1} - x = {2^{ - x}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {2^x} - {2^{ - x}} = 2x \Rightarrow {2^x} - {2^{ - x}} - 2x = 0 \Rightarrow P = - \frac{1}{2}.$

Câu 14 (1,25 điểm). Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác nhau từ tập $\left\{ 1,2,3,...,100 \right\}$ gồm 100 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để ba số chọn được là độ dài ba cạnh một tam giác bằng

Xem thêm các câu hỏi khác tại đây: Đề thi HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu