Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và Sơ đồ hình cây

Đếm là một bài toán cổ xưa nhất của nhân loại. Trong khoa học và trong cuộc sống, người ta cần đếm các đối tượng để giải quyết các vấn đề khác nhau.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Quy tắc cộng

Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau:

Phương án 1 có ${{n}_{1}}$ cách thực hiện

Phương án 2 có ${{n}_{2}}$ cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}$ cách.

Tổng quát:

Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong k phương án khác nhau:

Phương án 1 có ${{n}_{1}}$ cách thực hiện

Phương án 2 có ${{n}_{2}}$ cách thực hiện

…

Phương án k có ${{n}_{k}}$ cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+...+{{n}_{k}}$ cách.

Ví dụ 1: Một công việc có thể thực hiện theo một trong ba phương án A, B, C khác nhau: phương án A có a cách thực hiện; phương án B có b cách thực hiện và phương án C có c cách thực hiện. Vậy số cách để hoàn thành công việc này là

A. $abc.$

B. $a+b+c.$

C. $ab+c.$

D. $a+bc.$

Ví dụ 2: Mỗi ngày có 6 chuyến xe khách, 3 chuyến tàu hoả và 4 chuyến máy bay từ thành phố A đến thành phố B. Vậy mỗi ngày có bao nhiêu cách di chuyển từ thành phố A đến thành phố B bằng một trong ba loại phương tiện trên?

Giải. Việc di chuyển từ thành phố A đến thành phố B thực hiện theo một trong ba phương án:

Phương án 1: di chuyển bằng xe khách có 6 cách

Phương án 2: di chuyển bằng tàu hỏa có 3 cách

Phương án 3: di chuyển bằng máy bay có 4 cách

Theo quy tắc cộng có 6 + 3 + 4 = 13 cách thực hiện.

Ví dụ 3: Khi tham gia một trò chơi quay số trúng thưởng, mỗi người chơi chọn một số 4 chữ số (có tính cả số 0 ở đầu). Bạn An chọn số 0347. Người quản trò quay 4 tấm bìa cứng hình tròn I, II, III, IV, mỗi tấm bìa được chia thành 10 phần có diện tích bằng nhau và đánh số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Giả sử mũi tên của bìa cứng số I, II, III và IV tương ứng dừng ở các số a, b, c, d. Khi đó số abcd gọi là số trúng thưởng. Nếu số của người chơi trùng hoàn toàn với số trúng thưởng thì người chơi trúng giải nhất; trùng với 3 chữ số của số trúng thưởng (tính cả thứ tự) thì người chơi trúng giải nhì. Số cách quay 4 tấm bìa để An trúng giải nhì là

A. $19.$

B. $37.$

C. $18.$

D. $36.$

Giải. Đặt $S=\left\{ 0,1,...,9 \right\}.$ Để An trúng giải nhì thì số trúng thưởng là một trong bốn dạng $a347;0b47;03c7;034d;a\in S\backslash \left\{ 0 \right\};b\in S\backslash \left\{ 3 \right\};c\in S\backslash \left\{ 4 \right\};d\in S\backslash \left\{ 7 \right\}.$

Dạng $a347$ thì $a\in S\backslash \left\{ 0 \right\}$ có 9 cách

Dạng $0b47$ thì $b\in S\backslash \left\{ 3 \right\}$ có 9 cách

Dạng $03c7$ thì $c\in S\backslash \left\{ 4 \right\}$ có 9 cách

Dạng $034d$ thì $d\in S\backslash \left\{ 7 \right\}$ có 9 cách

Theo quy tắc cộng có tất cả $9+9+9+9=36$ cách. Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Trước khi lấy được đồ đựng trong tủ đồ của mình thì An phải nhập mật mã của tủ đồ. Biết An chỉ nhớ rằng mật mã của tủ đồ là một dãy kí tự gồm 6 chữ số dạng abcdef (trong các chữ số từ 0 đến 9) tương ứng với 3 cặp số phân biệt ab, cd, ef và 2 trong 3 cặp số này là 17, 24; cặp số còn lại không vượt quá 40 nhưng không nhớ tự tự của chúng. Trong trường hợp xấu nhất An phải nhập mật mã tối đa bao nhiêu lần để mở được tủ đồ đó?

A. $117.$

B. $234.$

C. $246.$

D. $240.$

>Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

*Ta áp dụng quy tắc cộng cho một công việc có nhiều phương án thực hiện khác nhau, các phương án này rời nhau, không phụ thuộc vào nhau (độc lập với nhau).

Quy tắc cộng phát biểu dưới ngôn ngữ tập hợp như sau:

Số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là $\left| X \right|$ hoặc $n(X).$

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của tập hợp $A\cup B$ là

\[\left| A\bigcup B \right|=\left| A \right|+\left| B \right|.\]

Mở rộng cho hai tập hợp A và B là các tập hợp hữu hạn và giao nhau (nếu có) ta có

\[\left| A\cup B \right|=\left| A \right|+\left| B \right|-\left| A\cap B \right|\text{ }\left( \text{1} \right)\]

Mở rộng cho ba tập hợp A, B, C là các tập hợp hữu hạn và giao nhau (nếu có) ta có

$\left| A\cup B\cup C \right|=\left| A \right|+\left| B \right|+\left| C \right|-\left( \left| A\cap B \right|+\left| B\cap C \right|+\left| C\cap A \right| \right)+\left| A\cap B\cap C \right|\text{ }\left( \text{2} \right)$

Công thức (1) và (2) dễ chứng minh được bằng biểu đồ Ven. Tổng quát cho n tập hợp hữu hạn chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ 1: Một hộp đựng 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Có bao nhiêu cách lấy từ hộp một thẻ để số ghi trên thẻ lấy ra chia hết cho 2 hoặc 5

A. $70.$

B. $60.$

C. $10.$

D. $50.$

Giải. Từ 1 đến 100 có 50 số chẵn (chia hết cho 2)

Từ 1 đến 100 có 20 số chia hết cho 5 là 5, 10, 15, …, 100 trong đó có 10 số là 10, 20,…, 100 là chia hết cho cả 2 và 5

Vậy có tất cả 50 +20 -10 = 60 số chia hết cho 2 hoặc 5. Chọn đáp án B.

Quy tắc nhân

Giả sử một công việc nào đó phải thực hiện qua hai công đoạn liên tiếp:

Công đoạn 1 có ${{m}_{1}}$ cách thực hiện

Công đoạn 2 có ${{m}_{2}}$ cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là ${{m}_{1}}.{{m}_{2}}$ cách.

Tổng quát:

Giả sử một công việc nào đó phải thực hiện qua k công đoạn liên tiếp:

Công đoạn 1 có ${{m}_{1}}$ cách thực hiện

Công đoạn 2 có ${{m}_{2}}$ cách thực hiện

…

Công đoạn k có ${{m}_{k}}$ cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là ${{m}_{1}}.{{m}_{2}}...{{m}_{k}}$ cách.

Ví dụ 1: Để tổ chức bữa tiệc, người ta chọn thực đơn gồm một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng. Nhà hàng đưa ra danh sách: khai vị có 2 loại súp và 3 loại sa lát; món chính có 4 loại thịt, 3 loại cá và 3 loại tôm; tráng miệng có 5 loại kem và 3 loại bánh. Tìm số thực đơn có thể tạo thành.

Giải. Để chọn một thực đơn trải qua 3 công đoạn:

Công đoạn 1: chọn món khai vị có 2 +3 = 5 cách

Công đoạn 2: chọn món chính có 4 + 3 + 3 = 10 cách

Công đoạn 3: chọn món tráng miệng có 5 + 3 = 8 cách

Theo quy tắc nhân có 5.10.8=400 thực đơn.

Ví dụ 2: Cho 10 điểm phân biệt. Có thể lập được bao nhiêu véctơ khác véctơ 0 từ 10 điểm đã cho?

Giải. Một véctơ khác véctơ 0 được thành lập qua hai cộng đoạn:

Công đoạn 1: chọn điểm đầu có 10 cách

Công đoạn 2: chọn điểm cuối khác điểm đầu đã chọn có 9 cách

Theo quy tắc nhân có 10.9 = 90 véctơ.

Một cách tương tự: Số véctơ khác véctơ 0 được lập từ n điểm phân biệt là $n(n-1).$

Ví dụ 3: Cửa hàng ăn nhanh có bán combo bánh mì và nước uống. Có 5 loại bánh mì: pate, trứng, xúc xích, chả và xá xíu. Có 2 loại nước uống: sữa đậu nành, sữa bắp. Có bao nhiêu loại combo bánh mì và nước uống khác nhau?

A. $7.$

B. $10.$

C. ${{5}^{2}}.$

D. ${{2}^{5}}.$

Giải. Lựa chọn bánh mì có 5 cách; lựa chọn nước uống có 2 cách. Theo quy tắc nhân có 5.2 = 10 combo. Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Một phòng chiếu phim gồm 4 cửa đi vào và 2 cửa đi ra. Có tất cả bao nhiêu cách để một khán giả vào phòng chiếu phim rồi sau đó ra về?

A. $8.$

B. $6.$

C. ${{2}^{4}}.$

D. ${{4}^{2}}.$

Giải. Đi vào có 4 cách; đi ra có 2 cách. Theo quy tắc nhân có 4.2 = 8 cách. Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Số điện thoại cho mỗi thuê bao của một nhà mạng có 10 chữ số và có các đầu số là 081, 082, 083, 084, 085, 088, 091 hoặc 094. Giả sử hiện tại nhà mạng đó đã cấp số cho tổng số 35 triệu thuê bao. Hỏi, nếu không có thêm các đầu số mới và không thu hồi các đầu số đã cấp thì nhà mạng đó còn có thể cung cấp bao nhiêu triệu thuê bao nữa?

A. $80.$

B. $140.$

C. $45.$

D. $105.$

Giải. Một số điện thoại của nhà mạng này có dạng $N{{a}_{4}}{{a}_{5}}...{{a}_{10}}$ trong đó $N$ có 8 cách chọn là các đầu số 081, 082, 083, 084, 085, 088, 091 hoặc 094.

Mỗi số ${{a}_{4}},{{a}_{5}},...,{{a}_{10}}$ có 10 cách chọn. Theo quy tắc nhân có ${{8.10}^{7}}$ số = 80 triệu thuê bao.

Do đó, nếu không có thêm các đầu số mới và không thu hồi các đầu số đã cấp thì nhà mạng đó còn có thể cung cấp 80 – 35 = 45 triệu thuê bao. Chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Có bao nhiêu cách viết một dãy 5 chữ cái in hoa từ bảng chữ cái Tiếng Anh (gồm 26 chữ cái từ A đến Z)?

A. $5\times 26.$

B. ${{26}^{5}}.$

C. ${{5}^{26}}.$

D. $26.25.24.23.22.$

Giải. Gọi dãy 5 chữ cái là ${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}.$

${{a}_{1}}$ có 26 cách chọn; ${{a}_{2}}$ có 26 cách chọn; ${{a}_{3}}$ có 26 cách chọn; ${{a}_{4}}$ có 26 cách chọn và ${{a}_{5}}$ có 26 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có ${{26}^{5}}$ dãy 5 chữ cái in hoa từ bảng chữ cái Tiếng Anh. Chọn đáp án B.

Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách viết một dãy 5 chữ cái in hoa khác nhau từ bảng chữ cái Tiếng Anh (gồm 26 chữ cái từ A đến Z)?

A. $5\times 26.$

B. ${{26}^{5}}.$

C. ${{5}^{26}}.$

D. $26.25.24.23.22.$

Giải. Gọi dãy 5 chữ cái là ${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}.$

${{a}_{1}}$ có 26 cách chọn; ${{a}_{2}}$ có 25 cách chọn; ${{a}_{3}}$ có 24 cách chọn; ${{a}_{4}}$ có 23 cách chọn và ${{a}_{5}}$ có 22 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có $26.25.24.23.22$ dãy 5 chữ cái in hoa khác nhau từ bảng chữ cái Tiếng Anh. Chọn đáp án D.

Ví dụ 8: Lớp 10A có 30 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán sự lớp gồm 3 thành viên: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 bí thư. Số cách chọn ban cán sự lớp như vậy là

A. $30.29.28.$

B. ${{30}^{3}}.$

C. $90.$

D. $5.29.28.$

Giải. Chọn ban cán sự lớp gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: chọn 1 bạn làm lớp trưởng có 30 cách

Công đoạn 2: chọn 1 bạn làm lớp phó có 29 cách

Công đoạn 3: chọn 1 bạn làm bí thư có 28 cách

Theo quy tắc nhân có $30.29.28$ cách. Chọn đáp án A.

Ví dụ 9: Có tất cả bao nhiêu biển số xe dạng 29X – abcde trong đó X là một trong 26 chữ cái in hoa Tiếng Anh và a, b, c, d, e là các chữ số từ 0 đến 9?

A. $52\times {{10}^{5}}.$

B. $26\times {{9}^{5}}.$

C. $26\times {{10}^{5}}.$

D. $52\times {{9}^{5}}.$

Giải. Kí tự X có 26 lựa chọn.

Kí tự a, b, c, d, e mỗi kí tự có 10 lựa chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có tất cả $26\times {{10}^{5}}$ biển số xe thoả mãn. Chọn đáp án C.

Ví dụ 10: Anh A dự định đặt vé máy bay khứ hồi đi từ Hà Nội vào Tp. HCM của hãng hàng không Vietnam Airlines ngày đi là 18/09/2023 và ngày về là 25/09/2023. Trên hệ thống của hãng bay Vietnam Airlines trong ngày 18/09/2023 có 80 chuyến bay từ Hà Nội đi Tp.HCM và ngày 25/09/2023 có 90 chuyến bay từ Tp.HCM đi Hà Nội. Vậy anh A có bao nhiêu cách đặt vé máy bay?

A. $720.$

B. $340.$

C. $7200.$

D. $170.$

Giải. Đặt vé ngày đi có 80 cách; đặt vé ngày về có 90 cách.

Vậy theo quy tắc nhân có $80\times 90=7200$ cách. Chọn đáp án C.

Ví dụ 11: Một đề thi trắc nghiệm môn Toán gồm 50 câu hỏi với thời gian làm bài 90 phút, mỗi câu hỏi thí sinh có 4 đáp án để lựa chọn trong đó chỉ có một đáp án đúng. Một học sinh không học bài mà chỉ lựa chọn đáp án ngẫu nhiên cho tất cả các câu hỏi trong đề thì có bao nhiêu cách làm hết đề thi?

A. 504.

B. 450.

C. 50.

D. 350.

Giải. Mỗi câu hỏi học sinh có 4 cách nên theo quy tắc nhân có tất cả ${{4}^{50}}$ cách làm hết đề thi. Chọn đáp án B.

Ví dụ 12: Trong loạt sút luân lưu giữa hai đội tuyển bóng đá, huấn luyện viên của đội phải lập danh sách 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ trên sân và xếp thứ tự đá luân lưu của họ. Trên sân có 3 tiền đạo trong đó 1 tiền đạo là đội trưởng. Nếu huấn luyện viên chọn đội trưởng cho lượt sút đầu tiên và một tiền đạo cho lượt sút cuối cùng thì huấn luyện viên có bao nhiêu cách lập danh sách sút luân lưu?

A. $1008.$

B. $1512.$

C. $462.$

D. $504.$

Giải. Lượt sút đầu tiên là đội trưởng có 1 cách

Loạt sút cuối là một tiền đạo có 2 cách (một tiền đạo là đội trưởng đã thực hiện ở lượt sút đầu)

Lượt sút thứ 2 có 9

Lượt sút thứ 3 có 8 cách

Lượt sút thứ 4 có 7 cách

Theo quy tắc nhân có $1.2.9.8.7=1008$ cách. Chọn đáp án A.

Ví dụ 13: Xét mạng đường nối các tỉnh A, B, C, D, E, F, G trong đó số viết trên một cạnh cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G?

A. $246.$

B. $248.$

C. $250.$

D. $252.$

Giải. Các phương án đi từ tỉnh A đến tỉnh G là ABDEG, ABDFG, ACDEG, ACDFG.

+) Trên con đường ABDEG theo quy tắc nhân có 2.3.2.5 = 60 cách.

+) Trên con đường ABDFG theo quy tắc nhân có 2.3.2.2 = 24 cách.

+) Trên con đường ACDEG theo quy tắc nhân có 3.4.2.5 = 120 cách.

+) Trên con đường ACDFG theo quy tắc nhân có 3.4.2.2 = 48 cách.

Vậy theo quy tắc cộng có tất cả 60 + 24 + 120 +48 = 252 cách. Chọn đáp án D.

Ví dụ 14: Xét sơ đồ mạng điện như hình vẽ có 6 công tắc khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở.

Hỏi có bao nhiêu cách đóng – mở 6 công tắc trên để có dòng điện từ P đến Q?

A. $64.$

B. $16.$

C. $15.$

D. $2.$

Giải. Có dòng điện từ P đến Q khi và chỉ khi hoặc có dòng điện PABQ hoặc có dòng điện PCDQ.

+) Số cách đóng – mở công tắc để có dòng điện PABQ là 2³ = 8.

+) Số cách đóng – mở công tắc để có dòng điện PCDQ là 2³ = 8.

+) Số cách đóng – mở công tắc để trên cả PABQ, PCDQ đều có dòng điện là 1.

Vậy số cách đóng – mở công thức thoả mãn là $8+8-1=15.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 15: Trong một buổi tiệc có 10 cặp vợ chồng. Tìm số cách chọn ra một nam và một nữ để phát biểu ý kiến, sao cho

a) Hai người đó là một cặp vợ chồng

b) Hai người đó không là cặp vợ chồng

Giải. a) Chọn ra một nam có 10 cách, nữ được chọn ra là vợ của người nam vừa chọn nên có 1 cách. Theo quy tắc nhân có 10.1 = 10 cách.

b) Chọn ra một nam có 10 cách, nữ được chọn ra không là vợ của người nam vừa chọn nên có 9 cách. Theo quy tắc nhân có 10.9 = 90 cách.

Ví dụ 16: a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau? 

Giải. a) Để lập một mật khẩu chương trình máy tính, ta cần thực hiện ba công đoạn liên tiếp:

+ Chọn kí tự thứ nhất: có 10 cách chọn (chọn 1 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9).

+ Chọn kí tự thứ hai: tương tự kí tự thứ nhất, có 10 cách chọn.

+ Chọn kí tự thứ ba: tương tự trên, có 10 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân, có thể tạo được số mật khẩu là: 10 . 10 . 10 = 1 000 (mật khẩu).

b) Để lập một mật khẩu chương trình máy tính theo quy định mới, ta cần thực hiện ba công đoạn liên tiếp:

+ Chọn kí tự thứ nhất từ tập 26 chữ từ A đến Z: có 26 cách chọn.

+ Chọn kí tự thứ hai là chữ số: có 10 cách chọn.

+ Chọn kí tự thứ ba là chữ số: có 10 cách chọn.

Do đó, theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu mới là: 26 . 10 . 10 = 2 600 (mật khẩu).

Vậy có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ số mật khẩu là: 2 600 – 1 000 = 1 600 (mật khẩu).

Ví dụ 17: Để lắp ghế vào một phòng chiếu phim, các ghế được gắn nhãn bằng một chữ cái in hoa (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh từ A đến Z) đứng trước và một số nguyên từ 1 đến 20, chẳng hạn X15, Z2,...

Hỏi có thể gắn nhãn tối đa được bao nhiêu ghế?

Giải. Để gắn nhãn mỗi ghế, ta phải thực hiện liên tiếp hai công đoạn:

+ Chọn một chữ cái có 26 cách chọn (bảng chữ cái in hoa tiếng Anh có 26 chữ cái).

+ Chọn một số từ 1 đến 20 có 20 cách chọn.

Do đó, số cách gắn nhãn là: 26 . 20 = 520 (cách).

Vậy có thể gắn nhãn tối đa được 520 ghế.

Ví dụ 18: Một khóa số có báo động là dãy ba chữ số (trong các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9). Bấm đúng thì khoá mở, bấm sai hai hay ba chữ số thì có báo động. Số cách bấm gây báo động là

A. 279.

B. 729.

C. 972.

D. 243.

Giải. Giả sử khoá số đúng có dạng abc.

Để gây báo động thì bấm sai hai chữ số hoặc bấm sai ba chữ số

TH1: Bấm sai 3 chữ số tức bấm xyz với $x\ne a;y\ne b;z\ne c$ có ${{9}^{3}}$ cách.

TH2: Bấm sai 2 chữ số tức bấm một trong ba dạng ayz; xbz; xyc với $x\ne a;y\ne b;z\ne c$ có ${{9}^{2}}+{{9}^{2}}+{{9}^{2}}$ cách.

Vậy có tất cả ${{9}^{3}}+{{9}^{2}}+{{9}^{2}}+{{9}^{2}}=972$ cách bấm gây báo động. Chọn đáp án C.

Cách 2: Ta dùng cách bù trừ: Số cách thoả mãn = tổng số cách – số cách không thoả mãn

Số khoá số gồm 3 chữ số là ${{10}^{3}}.$

Ta tìm cách bấm không gây báo động:

TH1: Số cách bấm đúng cả ba số là 1.

TH2: Số cách bấm sai đúng 1 số:

+ bấm xbc với $x\ne a\Rightarrow 9$ cách bấm.

+ bấm axc với $x\ne b\Rightarrow 9$ cách bấm.

+ bấm abx với $x\ne c\Rightarrow 9$ cách bấm.

Số cách bấm sai 1 chữ số là 27. Số cách bấm sai hai hay ba chữ số là ${{10}^{3}}-1-27=972.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 19: Mật mã X là một dãy 10 kí tự gồm 3 chữ cái in hoa kề nhau trong bảng 26 chữ cái tiếng anh (từ A đến Z) và sau đó là 7 chữ số kề nhau (từ 0 đến 9) ví dụ: AAA0000000.

a) Có bao nhiêu mật mã X như vậy

b) Có bao nhiêu mật mã X không chứa chữ cái A

c) Có bao nhiêu mật mã X không chứa chữ số 0

d) Có bao nhiêu mật mã X không chứa chữ cái A hoặc không chứa chữ số 0

Giải. a) Số mật mã X là ${{26}^{3}}\times {{10}^{7}}.$

b) Số mật mã X không chứa chữ cái A là ${{25}^{3}}\times {{10}^{7}}.$

c) Số mật mã X không chứa chữ số 0 là ${{26}^{3}}\times {{9}^{7}}.$

d) Số mật mã X không chứa cả chữ cái A và chứ số 0 là ${{25}^{3}}\times {{9}^{7}}.$

Vậy số mật mã X không chữa chữ cái A hoặc không chứa chữ số 0 là \[{{25}^{3}}\times {{10}^{7}}+{{26}^{3}}\times {{9}^{7}}-{{25}^{3}}\times {{9}^{7}}.\]

Ví dụ 20: Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [0;16]. Có bao nhiêu cách viết để tổng ba số được viết ra là một số chẵn?

A. $2673.$

B. $2457.$

C. $840.$

D. $948.$

Giải. Tổng ba số là một số chẵn khi 3 số cùng chẵn; 1 chẵn và 2 lẻ. Từ 0 đến 16 có 9 số chẵn và 8 số lẻ.

TH1: 3 số cùng chẵn có ${{9}^{3}}$ cách viết.

TH2: 1 chẵn và 2 lẻ

+ A viết số chẵn và B, C viết số lẻ có ${{9.8}^{2}}$ cách viết.

+ B viết số chẵn và A, C viết số lẻ có ${{9.8}^{2}}$ cách viết.

+ C viết số chẵn và A, B viết số lẻ có ${{9.8}^{2}}$ cách viết.

Vậy có tất cả ${{9}^{3}}+3\times 9\times {{8}^{2}}=2457$ cách viết. Chọn đáp án B.

Ví dụ 21: Có bao nhiêu số tự nhiên

a) có 3 chữ số?

b) có 3 chữ số khác nhau?

c) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?

d) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?

e) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

Giải. a) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: abc với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0)

+ a có 9 cách

+ b có 10 cách

+ c có 10 cách

Theo quy tắc nhân có 9.10.10 = 900 số.

b) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: abc với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).

Để lập số này, ta thực hiện ba công đoạn liên tiếp:

+ Chọn số a có 9 cách, do a ≠ 0.

+ Chọn b có 9 cách từ tập A\{a}.

+ Chọn c có 8 cách từ tập A\{a; b}.

Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là: 9 . 9 . 8 = 648 (số).

c) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: abc với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).

Để abc là số lẻ thì c thuộc tập hợp {1; 3; 5; 7; 9},

+ Chọn c có 5 cách từ tập {1; 3; 5; 7; 9}.

+ Chọn a có 8 cách từ tập A\{c; 0}.

+ Chọn b có 8 cách từ tập A\{c; a}.

Vậy số các số tự nhiên là số lẻ có 3 chữ số khác nhau là: 5 . 8 . 8 = 320 (số).

d) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: abc với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0).

Để abc chia hết cho 5 thì c thuộc tập hợp {0; 5}.

+ Chọn c có 2 cách từ tập {0; 5}.

+ Chọn a có 9 cách từ tập A\{0}.

+ Chọn b có 10 cách từ tập A.

Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số mà chia hết cho 5 là: 2 . 9 . 10 = 180 (số).

e) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: abc với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).

Để abc chia hết cho 5 thì c thuộc tập hợp {0; 5}.

+ Trường hợp 1: Nếu c = 0 thì: chọn a có 9 cách, chọn b có 8 cách.

Do đó, số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà tận cùng là 0 là: 9 . 8 = 72 (số).

+ Trường hợp 2: Nếu c = 5 thì: chọn a có 8 cách (do a ≠ 0 và a ≠ c), chọn b có 8 cách (do a ≠ b ≠ c).

Do đó, số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà tận cùng là 5 là: 8 . 8 = 64 (số).

Vì hai trường hợp rời nhau nên ta áp dụng quy tắc cộng, vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 5 là: 72 + 64 = 136 (số).

Ví dụ 22: Có ba hộp đựng thẻ. Hộp I chứa 3 tấm thẻ được đánh số 1, 2, 3. Hộp II chứa 4 tấm thẻ được đánh số 2, 4, 6, 8. Hộp III chứa 6 tấm thẻ được đánh số 1, 3, 5, 7, 9, 11. Có bao nhiêu cách rút ra từ mỗi hộp 1 tấm thẻ sao cho tổng các số ghi trên các tấm thẻ được rút ra là một số lẻ?

Giải. Gọi a, b, c lần lượt là các số ghi trên các tấm thẻ được rút ra từ hộp I, hộp II và hộp III.

+ b có 4 cách chọn và là số chẵn

+ c có 6 cách chọn và là số lẻ

Vậy để a + b + c là số lẻ thì a phải chẵn nên a = 2 có duy nhất 1 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 6.4.1 = 24 cách.

Ví dụ 23: Có bao nhiêu số tự nhiên

a) có 7 chữ số

b) có 7 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?

c) có 7 chữ số đôi một khác nhau trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?

Giải. a) Số cần tìm có dạng $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{7}}}$ trong đó ${{a}_{1}}$ có 9 cách chọn và mỗi số ${{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{7}}$ có 10 cách chọn. Theo quy tắc nhân có ${{9.10}^{6}}$ số.

b) Số cần tìm có dạng $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{3}}{{a}_{2}}{{a}_{1}}}$

+ ${{a}_{1}}$ có 9 cách chọn

+ mỗi số ${{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}$ có 10 cách chọn

Theo quy tắc nhân có ${{9.10}^{3}}=9000$ số.

c) Số cần tìm có dạng $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{3}}{{a}_{2}}{{a}_{1}}}$

+ ${{a}_{1}}$ có 9 cách chọn

+ ${{a}_{2}}\ne {{a}_{1}}$ nên có 9 cách chọn

+ ${{a}_{3}}\ne {{a}_{2}};{{a}_{3}}\ne {{a}_{1}}$ nên có 8 cách chọn

+ ${{a}_{4}}\ne {{a}_{3}};{{a}_{4}}\ne {{a}_{2}};{{a}_{4}}\ne {{a}_{1}}$ nên có 7 cách chọn

Theo quy tắc nhân có $9.9.8.7=4536$ số.

Ví dụ 24: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và là một số chia hết cho 3?

A. $177147.$

B. $59049.$

C. $354294.$

D. $300000.$

Giải. Số cần tìm có dạng $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{6}}}.$ Là một số chia hết cho 3 khi $({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{6}})\vdots 3.$

+ Mỗi số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}}$ có 9 cách chọn.

+ Giờ tìm số cách chọn số ${{a}_{6}}:$

KN1: Nếu ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{5}}=3k\Rightarrow {{a}_{6}}\in \left\{ 3,6,9 \right\}$có 3 cách chọn.

KN2: Nếu ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{5}}=3k+1$ thì ${{a}_{6}}\in \left\{ 2,5,8 \right\}$có 3 cách chọn.

KN3: Nếu ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{5}}=3k+2$ thì ${{a}_{6}}\in \left\{ 1,4,7 \right\}$ có 3 cách chọn.

Như vậy trong mọi trường hợp thì ${{a}_{6}}$ luôn có 3 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có tất cả ${{9}^{5}}\times 3=177147$ số thoả mãn. Chọn đáp án A.

Từ ví dụ trên bạn đọc áp dụng xử lý câu hỏi dưới đây:

Ví dụ 25: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số và chia hết cho 15?

A. $234.$

B. $243.$

C. $132.$

D. $432.$

 

Sơ đồ hình cây

Sơ đồ hình cây là sơ đồ minh hoạ cách phân chia các trường hợp bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh toả ra các nút bổ sung

Sơ đồ cây được vẽ từ ứng dụng Mindnode trên IOS

Trong bài toán đếm, việc sử dụng sơ đồ hình cây để minh hoạ giúp cho việc đếm thuận tiện và không bỏ sót các trường hợp

Ví dụ 1: Một đồng xu có hai mặt sấp và ngửa (kí hiệu là S và N). Tung đồng xu ba lần liên tiếp và ghi lại kết quả. Tìm số kết quả xảy ra theo hai cách: Vẽ sơ đồ hình cây và sử dụng quy tắc nhân.

Giải. Có thể coi việc tung đồ xu ba lần liên tiếp gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: tung đồng xu lần 1 cho hai kết quả S hoặc N

Công đoạn 2: tung đồ xu lần 2 cho hai kết quả S hoặc N

Công đoạn 3: tung đồ xu lần 3 cho hai kết quả S hoặc N

Theo quy tắc nhân có tất cả 2.2.2 = 8 (kết quả).

Và theo sơ đồ hình cây ta có 8 kết quả là SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN.

Sơ đồ hình cây minh hoạ kết quả sau 3 lần tung đồng xu liên tiếp

Ví dụ 2: Có ba chiếc hộp. Hộp I có chứa ba viên bi: 1 viên màu đỏ, 1 viên màu xanh và 1 viên màu vàng. Hộp II chứa hai viên bi: 1 viên màu xanh và 1 viên màu vàng. Hộp III chứa hai viên bi: 1 viên màu đỏ và 1 viên màu xanh. Tất cả các viên bi đều có cùng kích thước. Tìm số cách lấy ra ba viên bi trong đó mỗi hộp lấy ra một viên bi và minh hoạ bằng sơ đồ hình cây.

Giải. Việc lấy ra ba viên bi trong đó mỗi hộp lấy ra một viên bi gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: lấy ra 1 viên bi trong hộp I có 3 cách

Công đoạn 2: lấy ra 1 viên bi trong hộp II có 2 cách

Công đoạn 3: lấy ra 1 viên bi trong hộp III có 2 cách

Theo quy tắc nhân có tất cả 3.2.2 = 12 cách.

Kí hiệu Đ, X, V lần lượt là bi đỏ, bi xanh và bi vàng.

Sơ đồ hình cây minh hoạ kết quả lấy ra từ mỗi hộp một viên bi

Bài toán đếm số ước nguyên dương của một số tự nhiên

Một số tự nhiên n được phân tích thành thừa số nguyên tố dạng $n=p_{1}^{{{m}_{1}}}p_{2}^{{{m}_{2}}}...p_{k}^{{{m}_{k}}}.$ Khi đó số ước nguyên dương của n là $\left( {{m}_{1}}+1 \right)\left( {{m}_{2}}+1 \right)...\left( {{m}_{k}}+1 \right).$

Chứng minh. Vì $n=p_{1}^{{{m}_{1}}}p_{2}^{{{m}_{2}}}...p_{k}^{{{m}_{k}}}.$ Nên ước nguyên dương của n có dạng $p_{1}^{{{x}_{1}}}p_{2}^{{{x}_{2}}}...p_{k}^{{{x}_{k}}}$ trong đó ${{x}_{1}}\in \left\{ 0,...,{{m}_{1}} \right\}$ có ${{m}_{1}}+1$ cách chọn; ${{x}_{2}}\in \left\{ 0,...,{{m}_{2}} \right\}$ có ${{m}_{2}}+1$ cách chọn; …; ${{x}_{k}}\in \left\{ 0,...,{{m}_{k}} \right\}$ có ${{m}_{k}}+1$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân có $\left( {{m}_{1}}+1 \right)\left( {{m}_{2}}+1 \right)...\left( {{m}_{k}}+1 \right)$ cách chọn bộ số $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{k}} \right)$ tương ứng có tất cả $\left( {{m}_{1}}+1 \right)\left( {{m}_{2}}+1 \right)...\left( {{m}_{k}}+1 \right)$ ước nguyên dương. Ta có điều phải chứng minh.

Để phân tích một số tự nhiên n thành thừa số nguyên tố bằng MTCT Casio 580 các em thao tác:

Với MTCT VINACAL các em thao tác: SHIFT 6 4 n =

Ví dụ 1: $234=2\times {{3}^{2}}\times 13$ nên có tất cả $\left( 1+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 1+1 \right)=12$ ước nguyên dương.

Ví dụ 2: $10000={{2}^{4}}\times {{5}^{4}}$ nên có tất cả $\left( 4+1 \right)\left( 4+1 \right)=25$ ước nguyên dương.

Ví dụ 3: $10125={{3}^{4}}\times {{5}^{3}}$ nên có tất cả $\left( 4+1 \right)\left( 3+1 \right)=20$ ước nguyên dương.

Ví dụ 4: \[70560={{2}^{5}}\times {{3}^{2}}\times 5\times {{7}^{2}}\] nên có tất cả $\left( 5+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 1+1 \right)\left( 2+1 \right)=108$ ước nguyên dương.

Ví dụ 5: $232425={{3}^{2}}\times {{5}^{2}}\times 1033$ nên có tất cả $\left( 2+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 1+1 \right)=18$ ước nguyên dương.

Ví dụ 6: \[9465779232={{2}^{5}}\times {{3}^{6}}\times {{7}^{4}}\times {{13}^{2}}\] nên có tất cả \[\left( 5+1 \right)\left( 6+1 \right)\left( 4+1 \right)\left( 2+1 \right)=630\] ước nguyên dương.

Bài toán tính tổng các ước số nguyên dương của một số tự nhiên

Bảng ghi nhớ điều kiện chia hết cho một số nguyên

Chia hết cho	Điều kiện chia hết
2	Chữ số tận cùng (hàng đơn vị) là chẵn (0, 2, 4, 6, hay 8).
3 hoặc 9	Số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9). VD: 2025 chia hết cho 3 vì 2+0+2+5=9 chia hết cho 3 VD: 2880 chia hết cho 9 vì 2+8+8+0=18 chia hết cho 9.
4	Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 4. VD: 00, 04, 08, 24, 32,…
5	Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
6	Số đó chia hết cho cả 2 và 3.
7	Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 7. VD: 1369851 chia hết cho 7 vì 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69.
8	Ba chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 8. VD: 008, 016, 640,…
10	Chữ số hàng đơn vị là 0.
11	Tổng đan dấu các chữ số của nó là một số chia hết cho 11 tức $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}\vdots 11$ thì điều kiện là ${{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{a}_{3}}-...+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}{{a}_{n}}\vdots 11.$ VD: 918082 chia hết cho 11 vì 9-1+8-0+8-2=22 chia hết cho 11.
12	Số đó chia hết cho cả 3 và 4.
13	Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 13. VD: 2911272 chia hết cho 13 vì 272 − 911 + 2 = −637 chia hết cho 13.
14	Số đó chia hết cho cả 2 và 7.
15 18 21 22 24 26 28 30	Số đó chia hết cho cả 3 và 5. Số đó chia hết cho cả 2 và  9. Số đó chia hết cho cả 3 và 7. Số đó chia hết cho cả 2 và 11. Số đó chia hết cho cả 3 và 8. Số đó chia hết cho cả 2 và 13. Số đó chia hết cho cả 4 và 7. Số đó chia hết cho cả 3 và 10.
16	Bốn chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 16. VD: 157648 chia hết cho 16 vì 7648 = 478 × 16.
20 hoặc 25	Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 20 (hoặc 25).

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm