Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và Sơ đồ hình cây


Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và Sơ đồ hình cây

Đếm là một bài toán cổ xưa nhất của nhân loại. Trong khoa học và trong cuộc sống, người ta cần đếm các đối tượng để giải quyết các vấn đề khác nhau.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Quy tắc cộng

Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau:

Phương án 1 có ${{n}_{1}}$ cách thực hiện

Phương án 2 có ${{n}_{2}}$ cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}$ cách.

Tổng quát:

Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong m phương án khác nhau:

Phương án 1 có ${{n}_{1}}$ cách thực hiện

Phương án 2 có ${{n}_{2}}$ cách thực hiện

Phương án m có ${{n}_{m}}$ cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+...+{{n}_{m}}$ cách.

*Ta áp dụng quy tắc cộng cho một công việc có nhiều phương án thực hiện khác nhau, các phương án này rời nhau, không phụ thuộc vào nhau (độc lập với nhau).

Quy tắc nhân

Sơ đồ hình cây

Bài toán đếm số ước nguyên dương của một số tự nhiên

Một số tự nhiên n được phân tích thành thừa số nguyên tố dạng $n=p_{1}^{{{m}_{1}}}p_{2}^{{{m}_{2}}}...p_{k}^{{{m}_{k}}}.$ Khi đó số ước nguyên dương của n là $\left( {{m}_{1}}+1 \right)\left( {{m}_{2}}+1 \right)...\left( {{m}_{k}}+1 \right).$

Chứng minh. Vì $n=p_{1}^{{{m}_{1}}}p_{2}^{{{m}_{2}}}...p_{k}^{{{m}_{k}}}.$ Nên ước nguyên dương của n có dạng $p_{1}^{{{x}_{1}}}p_{2}^{{{x}_{2}}}...p_{k}^{{{x}_{k}}}$ trong đó ${{x}_{1}}\in \left\{ 0,...,{{m}_{1}} \right\}$ có ${{m}_{1}}+1$ cách chọn; ${{x}_{2}}\in \left\{ 0,...,{{m}_{2}} \right\}$ có ${{m}_{2}}+1$ cách chọn; …; ${{x}_{k}}\in \left\{ 0,...,{{m}_{k}} \right\}$ có ${{m}_{k}}+1$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân có $\left( {{m}_{1}}+1 \right)\left( {{m}_{2}}+1 \right)...\left( {{m}_{k}}+1 \right)$ cách chọn bộ số $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{k}} \right)$ tương ứng có tất cả $\left( {{m}_{1}}+1 \right)\left( {{m}_{2}}+1 \right)...\left( {{m}_{k}}+1 \right)$ ước nguyên dương. Ta có điều phải chứng minh.

Để phân tích một số tự nhiên n thành thừa số nguyên tố bằng MTCT các em thực hiện nhập

Ví dụ 1: $234=2\times {{3}^{2}}\times 13$ nên có tất cả $\left( 1+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 1+1 \right)=12$ ước nguyên dương.

Ví dụ 2: $10000={{2}^{4}}\times {{5}^{4}}$ nên có tất cả $\left( 4+1 \right)\left( 4+1 \right)=25$ ước nguyên dương.

Ví dụ 3: $10125={{3}^{4}}\times {{5}^{3}}$ nên có tất cả $\left( 4+1 \right)\left( 3+1 \right)=20$ ước nguyên dương.

Ví dụ 4: \[70560={{2}^{5}}\times {{3}^{2}}\times 5\times {{7}^{2}}\] nên có tất cả $\left( 5+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 1+1 \right)\left( 2+1 \right)=108$ ước nguyên dương.

Ví dụ 5: $232425={{3}^{2}}\times {{5}^{2}}\times 1033$ nên có tất cả $\left( 2+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 1+1 \right)=18$ ước nguyên dương.

Ví dụ 6: \[9465779232={{2}^{5}}\times {{3}^{6}}\times {{7}^{4}}\times {{13}^{2}}\] nên có tất cả \[\left( 5+1 \right)\left( 6+1 \right)\left( 4+1 \right)\left( 2+1 \right)=630\] ước nguyên dương.

Bài toán tính tổng các ước số nguyên dương của một số tự nhiên

Bảng ghi nhớ điều kiện chia hết cho một số nguyên

Chia hết cho

Điều kiện chia hết

2

Chữ số tận cùng (hàng đơn vị) là chẵn (0, 2, 4, 6, hay 8).

3 hoặc 9

Số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).

VD: 2025 chia hết cho 3 vì 2+0+2+5=9 chia hết cho 3

VD: 2880 chia hết cho 9 vì 2+8+8+0=18 chia hết cho 9.

4

Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 4.

VD: 00, 04, 08, 24, 32,…

5

Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

6

Số đó chia hết cho cả 2 và 3.

7

Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 7.

VD: 1369851 chia hết cho 7 vì 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69.

8

Ba chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 8.

VD: 008, 016, 640,…

10

Chữ số hàng đơn vị là 0.

11

Tổng đan dấu các chữ số của nó là một số chia hết cho 11 tức $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}\vdots 11$ thì điều kiện là ${{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{a}_{3}}-...+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}{{a}_{n}}\vdots 11.$

VD: 918082 chia hết cho 11 vì 9-1+8-0+8-2=22 chia hết cho 11.

12

Số đó chia hết cho cả 3 và 4.

13

Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 13.

VD: 2911272 chia hết cho 13 vì 272 − 911 + 2 = −637 chia hết cho 13.

14

Số đó chia hết cho cả 2 và 7.

15

18

21

22

24

26

28

30

Số đó chia hết cho cả 3 và 5.

Số đó chia hết cho cả 2 và  9.

Số đó chia hết cho cả 3 và 7.

Số đó chia hết cho cả 2 và 11.

Số đó chia hết cho cả 3 và 8.

Số đó chia hết cho cả 2 và 13.

Số đó chia hết cho cả 4 và 7.

Số đó chia hết cho cả 3 và 10.

16

Bốn chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 16.

VD: 157648 chia hết cho 16 vì 7648 = 478 × 16.

20 hoặc 25

Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 20 (hoặc 25).

 

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả