Một số bài toán tính tổng của cấp số nhân dựa trên xây dựng cấp số nhân từ hình vẽ cho trước

Đã đăng 2018-04-14 10:46:14
10.055 lượt xem
0 bình luận
Kiến thức toán học

Một số bài toán tính tổng của cấp số nhân dựa trên xây dựng cấp số nhân từ hình vẽ cho trước. Trích đề thi và bài giảng Ôn tập cấp số cộng và cấp số nhân tại khoá PRO XMAX. Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-mon-toan-kh266161831.html

Câu 1.Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích ${{S}_{1}}.$ Nối bốn trung điểm ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}}$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích ${{S}_{2}}.$ Tiếp tục như thế, ta được hình vuông ${{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}$ có diện tích ${{S}_{3}},...$ và cứ tiếp tục như thế ta được hình vuông lần lượt có diện tích là ${{S}_{4}},{{S}_{5}},...,{{S}_{100}}.$ Tổng ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{100}}$ bằng

A. $\frac{{{a}^{2}}({{2}^{100}}-1)}{{{2}^{100}}}.$

B. $\frac{{{a}^{2}}({{2}^{100}}-1)}{{{2}^{99}}}.$

C. $\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{100}}}.$

D. $\frac{{{a}^{2}}({{2}^{99}}-1)}{{{2}^{98}}}.$

Lời giải chi tiết:

Có ${{S}_{n}}=\frac{1}{2}{{S}_{n-1}},{{S}_{1}}={{a}^{2}}\Rightarrow ({{S}_{n}})$ là cấp số nhân có công bội bằng $\frac{1}{2}.$

Do đó ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{100}}={{S}_{1}}.\frac{{{q}^{100}}-1}{q-1}={{a}^{2}}.\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{100}}-1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{{{a}^{2}}({{2}^{100}}-1)}{{{2}^{99}}}.$ Chọn đáp án B.

Một số bài toán tính tổng của cấp số nhân dựa trên xây dựng cấp số nhân từ hình vẽ cho trước. Trích đề thi và bài giảng Ôn tập cấp số cộng và cấp số nhân tại khoá PRO XMAX. Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-mon-toan-kh266161831.html

Câu 2.Một hình vuông ${{C}_{1}}$ cạnh bằng $a.$ Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông ${{C}_{2}}$ (như hình vẽ bên). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông ${{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}},...$ Gọi ${{S}_{i}}$ là diện tích của các hình vuông ${{C}_{i}}(i=1,2,...).$ Tìm $a$ biết ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{n}}+...=\frac{32}{3}.$

A. $2.$

B. $\frac{5}{2}.$

C. $\sqrt{2}.$

D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Lời giải chi tiết:

Cạnh hình vuông ${{C}_{n-1}}$ là ${{a}_{n-1}}$ theo pitago có $a_{n}^{2}={{\left( \frac{{{a}_{n-1}}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3{{a}_{n-1}}}{4} \right)}^{2}}=\frac{10}{16}a_{n-1}^{2}\Rightarrow {{S}_{n}}=\frac{10}{16}{{S}_{n-1}}.$

Đây là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${{S}_{1}}={{a}^{2}}$ và công bội $q=\frac{10}{16}.$

Do đó ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{n}}+...=\frac{{{S}_{1}}}{1-q}=\frac{{{a}^{2}}}{1-\frac{10}{16}}=\frac{32}{3}\Leftrightarrow a=2.$ Chọn đáp án A.

Một số bài toán tính tổng của cấp số nhân dựa trên xây dựng cấp số nhân từ hình vẽ cho trước. Trích đề thi và bài giảng Ôn tập cấp số cộng và cấp số nhân tại khoá PRO XMAX. Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-mon-toan-kh266161831.html

Đề và đáp án chi tiết Vted.vn sẽ cập nhật ở bài viết này. Bạn đọc có thể xem thêm các đề thi khác kèm lời giải chi tiết một số câu trong các đề trường THPT Chuyên